التحاكي (التكبير والتصغير) في المستوى — مفهوم التحاكي ومعامل التحاكي وتمثيل الأشكال مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

التحاكي (التكبير والتصغير) في المستوى

أهداف الدرس

• تعريف مفهوم التحاكي ومعامل التحاكي
• التعرف على خصائص التحاكي في المستوى الإحداثي
• تمثيل صور الأشكال بالتحاكي
• حل مسائل تطبيقية على التحاكي

أولاً: تعريف التحاكي

التحاكي (Homothétie) هو تحويل هندسي يُمكّن من تكبير أو تصغير شكل ما مع الحفاظ على شكله العام (أي الحفاظ على الزوايا والنسبة بين الأطوال).

يُعرف التحاكي بثلاثة عناصر أساسية:

• مركز التحاكي (O): نقطة ثابتة لا تتغير.
• معامل التحاكي (k): عدد حقيقي غير معدوم يحدد نسبة التكبير أو التصغير.
• صورة النقطة (M): النقطة المحصلة بعد تطبيق التحاكي.

ثانياً: قاعدة التحاكي

إذا كان لدينا مركز تحاكي O ومعامل تحاكي k، فإن صورة نقطة M بالتحاكي هي النقطة M' بحيث:

• النقاط O، M، M' على استقامة واحدة.
• المسافة OM' = |k| × OM
• إذا كان k > 0، فإن M' تقع في نفس اتجاه M بالنسبة لـ O.
• إذا كان k < 0، فإن M' تقع في الاتجاه المعاكس لـ M بالنسبة لـ O.

ثالثاً: حالات معامل التحاكي

قيمة k	نوع التحاكي	التأثير على الشكل
k > 1	تكبير	الشكل الناتج أكبر من الشكل الأصلي
0 < k < 1	تصغير	الشكل الناتج أصغر من الشكل الأصلي
k = 1	تحاكي محايد	الشكل الناتج مطابق تماماً
-1 < k < 0	تصغير مع انعكاس	الشكل أصغر وفي الاتجاه المعاكس
k < -1	تكبير مع انعكاس	الشكل أكبر وفي الاتجاه المعاكس
k = -1	تماثل مركزي	الشكل مطابق ولكن معكوس الاتجاه

رابعاً: خصائص التحاكي

• يحافظ على استقامية النقط: إذا كانت A, B, C على استقامة واحدة، فإن صورها A', B', C' تكون أيضاً على استقامة واحدة.
• يحافظ على الزوايا: قياس الزاوية لا يتغير بعد التحاكي.
• يُحول القطعة المستقيمة AB إلى قطعة مستقيمة A'B' توازيها.
• النسبة بين طول صورة قطعة والقطعة الأصلية تساوي |k|: A'B' = |k| × AB
• يحافظ على الترتيب إذا كان k > 0، ويعكسه إذا كان k < 0.

خامساً: تمثيل التحاكي في المستوى الإحداثي

إذا كان مركز التحاكي هو نقطة الأصل O(0,0) ومعامل التحاكي k، فإن صورة النقطة M(x, y) هي M'(kx, ky).

أما إذا كان مركز التحاكي هو نقطة O(a, b) فإن صورة M(x, y) تُحسب كالتالي: M'(x', y') = (a + k(x – a), b + k(y – b)).

مثال محلول 1

المعطيات: مثلث ABC حيث A(1,2), B(3,4), C(5,1). مركز التحاكي O(0,0) و k = 2.

المطلوب: حساب إحداثيات المثلث A'B'C'.

الحل: A'(2×1, 2×2) = A'(2, 4)، B'(2×3, 2×4) = B'(6, 8)، C'(2×5, 2×1) = C'(10, 2).

مثال محلول 2

قطعة مستقيمة AB طولها 6 cm، معامل التحاكي k = 0.5. طول الصورة A'B' = 0.5 × 6 = 3 cm (تصغير).

تمارين تطبيقية

1. مربع طول ضلعه 4 cm، طبق عليه تحاكي معامله k = 3. أحسب طول ضلع المربع الناتج.
2. النقطة M(2, -3) مركز التحاكي O(1, 1) و k = -2. أحسب إحداثيات M'.
3. هل يمكن أن يكون k = 0؟ علّل إجابتك.
4. AB طولها 8 cm صارت A'B' طولها 2 cm بعد تحاكي. ما معامل التحاكي؟

الخلاصة

التحاكي تحويل هندسي لتكبير أو تصغير الأشكال مع الحفاظ على الشكل. يُحدد بمركز O ومعامل k. إذا كان |k| > 1 تكبير، وإذا كان 0 < |k| < 1 تصغير. الإشارة السالبة تعني انعكاس الاتجاه.

دروس مشابهة

• التناسبية في الرياضيات — مفهومها وخواصها
• النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة