النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة — تمارين شاملة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة

أهداف الدرس

• أن يتذكر التلميذ المتطابقات الشهيرة الثلاث الأساسية.
• أن يوظفها في نشر عبارات جبرية.
• أن يستخدمها في تحليل (تعميل) عبارات جبرية.
• أن يحل معادلات من الدرجة الأولى باستعمال التحليل.

1 ـ تذكير بالمتطابقات الشهيرة

رقم	المتطابقة	صيغتها
1	مربع مجموع حدين	(a + b)² = a² + 2ab + b²
2	مربع فرق حدين	(a − b)² = a² − 2ab + b²
3	فرق مربعين	a² − b² = (a − b)(a + b)

2 ـ النشر باستعمال المتطابقات الشهيرة

النشر هو تحويل جداء إلى مجموع جبري.

مثال 1: نشر (3x + 2)²

(3x + 2)² = (3x)² + 2(3x)(2) + 2² = 9x² + 12x + 4

مثال 2: نشر (4x − 5)²

(4x − 5)² = (4x)² − 2(4x)(5) + 5² = 16x² − 40x + 25

مثال 3: نشر (2x + 3)(2x − 3)

(2x + 3)(2x − 3) = (2x)² − 3² = 4x² − 9

3 ـ التحليل (التعميل) باستعمال المتطابقات الشهيرة

التحليل هو تحويل مجموع جبري إلى جداء عوامل.

مثال 1: تحليل x² + 10x + 25

نلاحظ: x² = (x)² و 25 = 5² و 10x = 2(x)(5)

إذن: x² + 10x + 25 = (x + 5)²

مثال 2: تحليل 9x² − 30x + 25

نلاحظ: 9x² = (3x)² و 25 = 5²

9x² − 30x + 25 = (3x)² − 2(3x)(5) + 5² = (3x − 5)²

مثال 3: تحليل x² − 49

x² − 49 = x² − 7² = (x − 7)(x + 7)

مثال 4: تحليل 16x² − 9y²

16x² − 9y² = (4x)² − (3y)² = (4x − 3y)(4x + 3y)

4 ـ تطبيقات: حل معادلات بالتحليل

مثال: حل (x + 3)² − 25 = 0

التحليل: (x + 3)² − 5² = (x + 3 − 5)(x + 3 + 5) = (x − 2)(x + 8)

حل المعادلة: (x − 2)(x + 8) = 0

إما x − 2 = 0 ← x = 2

أو x + 8 = 0 ← x = −8

مجموعة الحلول: S = {−8; 2}

5 ـ تمارين محلولة

التمرين 1: أكمل النشر

أ) (2x + 7)² = 4x² + … + 49
ب) (5x − 4)² = 25x² − … + 16

الحل: أ) 28x، ب) 40x

التمرين 2: حلل العبارات التالية

أ) A = x² − 81
ب) B = 4x² − 12x + 9
ج) C = 25x² − 64y²

الحل:
أ) A = (x − 9)(x + 9)
ب) B = (2x − 3)²
ج) C = (5x − 8y)(5x + 8y)

6 ـ تمارين للتمرن

1. أنشر وبسط: (3x − 2)² + (x + 5)(x − 5)
2. حلل: 49x² − 36y²
3. حلل: 9x² + 24x + 16
4. حلل: x² − 12x + 36
5. حل المعادلة: (2x − 1)² − 9 = 0

الخلاصة

المتطابقات الشهيرة الثلاث أساسية في الحساب الحرفي:

• (a + b)² = a² + 2ab + b² — لنشر مربع مجموع.
• (a − b)² = a² − 2ab + b² — لنشر مربع فرق.
• a² − b² = (a − b)(a + b) — للتحليل أو النشر (فرق مربعين).

نستخدم هذه المتطابقات للنشر (من الجداء إلى المجموع) والتحليل (من المجموع إلى الجداء) وحل المعادلات.

دروس مشابهة:

• الهرم والمخروط الدوراني — حساب الحجم والمساحة الجانبية والكلية
• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — طريقة الحل وقواعد المساواة