الرياضيات — كثيرات الحدود (Polynômes): تعريفها ودرجتها وجمعها وضربها وتحليلها مع تمارين محلولة — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• تعريف كثيرة الحدود وتحديد درجتها
• إجراء العمليات على كثيرات الحدود (الجمع، الطرح، الضرب)
• تحليل كثيرات الحدود باستعمال العامل المشترك والمتطابقات الشهيرة
• تطبيق كثيرات الحدود في حل مسائل الرياضيات

1. تعريف كثيرة الحدود

كثيرة الحدود (Polynôme) هي عبارة جبرية من الشكل: P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + … + a_1 x + a_0 حيث a_n, a_{n-1}, …, a_0 أعداد حقيقية تسمى المعاملات، و n عدد طبيعي يسمى درجة كثيرة الحدود (شريطة a_n ≠ 0).

مثال:

P(x) = 3x^4 – 2x^3 + 5x^2 – x + 7 هي كثيرة حدود من الدرجة 4.
معاملاتها: a_4 = 3, a_3 = -2, a_2 = 5, a_1 = -1, a_0 = 7.

2. العمليات على كثيرات الحدود

أ. الجمع والطرح:

نجمع (أو نطرح) الحدود المتشابهة (التي لها نفس الأس).

مثال: (3x^2 + 2x – 1) + (x^2 – 4x + 5) = 4x^2 – 2x + 4

ب. الضرب:

نوزع كل حد من كثيرة الحدود الأولى على كل حد من كثيرة الحدود الثانية.

مثال: (2x – 1)(x + 3) = 2x^2 + 6x – x – 3 = 2x^2 + 5x – 3

3. تحليل كثيرات الحدود

تحليل كثيرة الحدود يعني كتابتها على شكل جداء عوامل من الدرجة الأولى أو الثانية.

أ. باستعمال العامل المشترك:

P(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2)

ب. باستعمال المتطابقات الشهيرة:

a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)
مثال: x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
مثال: x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

a^2 – 2ab + b^2 = (a – b)^2
مثال: x^2 – 6x + 9 = (x – 3)^2

4. تمارين محلولة

التمرين 1:

أوجد درجة كثيرة الحدود P(x) = 5x^5 – 3x^3 + 2x – 1.

الحل: أعلى أس هو 5، إذن الدرجة هي 5.

التمرين 2:

احسب (3x^2 – 2x)(x – 4).

الحل:
= 3x^2 · x + 3x^2 · (-4) + (-2x) · x + (-2x) · (-4)
= 3x^3 – 12x^2 – 2x^2 + 8x
= 3x^3 – 14x^2 + 8x

التمرين 3:

حلل كثيرة الحدود P(x) = x^2 – 4x + 4.

الحل: نلاحظ أن x^2 – 4x + 4 = (x)^2 – 2·x·2 + (2)^2 = (x – 2)^2.

📚 دروس مشابهة

• حل معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد بطريقة المميز
• الأعداد الحقيقية: القيمة المطلقة والمسافة على مستقيم الأعداد

💡 ملخص: كثيرة الحدود هي أساس مهم في الرياضيات. أتقن العمليات عليها لتتمكن من حل المعادلات والمتراجحات في السنوات القادمة.