المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — حل المعادلات وطرق التعامل معها مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

الدرس: المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد

أهداف التعلم:

• التعرف على مفهوم المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• إتقان قواعد حل المعادلة (المساواة).
• حل معادلات بسيطة من الدرجة الأولى.
• توظيف المعادلات في حل مسائل حياتية.

أولاً: تعريف المعادلة

المعادلة هي مساواة بين مقدارين جبريين تحتوي على مجهول (عادةً x). المعادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد تكتب على الشكل: ax + b = 0 حيث a ≠ 0.

أمثلة:

• 2x + 3 = 7
• 5x − 10 = 0
• 3x + 1 = x − 5

ثانياً: قواعد حل المعادلة

لحل معادلة من الدرجة الأولى، نعزل المجهول x في طرف واحد من المعادلة باستخدام القواعد التالية:

القاعدة	مثال
نضيف (أو نطرح) نفس العدد إلى طرفي المعادلة	x − 5 = 3 → x − 5 + 5 = 3 + 5 → x = 8
نضرب (أو نقسم) طرفي المعادلة على نفس العدد غير المعدوم	3x = 12 → 3x ÷ 3 = 12 ÷ 3 → x = 4
ننقل الحد من طرف إلى آخر مع تغيير الإشارة	2x + 5 = 13 → 2x = 13 − 5 → 2x = 8 → x = 4

ثالثاً: خطوات حل معادلة من الدرجة الأولى

1. نبسط كل طرف من طرفي المعادلة (نزيل الأقواس ونجمع الحدود المتشابهة).
2. ننقل الحدود التي تحتوي على المجهول إلى طرف والحدود الثابتة إلى الطرف الآخر.
3. نقسم طرفي المعادلة على معامل المجهول.
4. نحصل على قيمة المجهول ثم نتحقق من صحة الحل.

رابعاً: أمثلة محلولة

مثال 1: حل المعادلة: 3x + 7 = 22

الحل: 3x + 7 = 22 → 3x = 22 − 7 → 3x = 15 → x = 15 ÷ 3 → x = 5

التحقق: 3(5) + 7 = 15 + 7 = 22 ✓

مثال 2: حل المعادلة: 5x − 3 = 2x + 9

الحل: 5x − 2x = 9 + 3 → 3x = 12 → x = 12 ÷ 3 → x = 4

التحقق: 5(4) − 3 = 20 − 3 = 17 و 2(4) + 9 = 8 + 9 = 17 ✓

مثال 3: حل المعادلة: 2(x + 3) − 5 = 3x + 1

الحل: 2x + 6 − 5 = 3x + 1 → 2x + 1 = 3x + 1 → 2x − 3x = 1 − 1 → −x = 0 → x = 0

خامساً: تطبيقات المعادلات في حل المسائل

مثال: مجموع عددين متتاليين هو 37. ما هما العددان؟

الحل: لنفرض أن العدد الأول هو x، إذن العدد الثاني هو x + 1.

x + (x + 1) = 37 → 2x + 1 = 37 → 2x = 36 → x = 18

إذن العددان هما 18 و 19.

سادساً: تمارين تطبيقية

1. التمرين الأول: حل المعادلات التالية:
   • 4x − 7 = 13
   • 6x + 2 = 3x + 11
   • 3(x − 2) = 2x + 1
2. التمرين الثاني: طول مستطيل يزيد عن عرضه بـ 5 سم. إذا كان محيط المستطيل 38 سم، أحسب طوله وعرضه.
3. التمرين الثالث: اشترى تلميذ 3 كتب ودفع 750 ديناراً. إذا كان ثمن الدفتر 150 ديناراً، فما ثمن كل كتاب؟

الخلاصة:

• المعادلة من الدرجة الأولى تكتب على شكل ax + b = 0.
• لحل المعادلة، نعزل x باستخدام عمليات المساواة (الجمع والطرح والضرب والقسمة).
• يمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة x في المعادلة الأصلية.
• تستخدم المعادلات في حل مسائل يومية متنوعة.

دروس مشابهة:

• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط
• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — شرح وحل تمارين — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط