الأعداد الناطقة (الموجبة والسالبة) — تعريفها ومقارنتها والعمليات عليها مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الدرس: الأعداد الناطقة (الموجبة والسالبة)

أهداف التعلم:

• التعرف على مجموعة الأعداد الناطقة Q.
• تمثيل الأعداد الناطقة على المستقيم المدرج.
• مقارنة وترتيب الأعداد الناطقة.
• إجراء العمليات على الأعداد الناطقة (جمع، طرح، ضرب، قسمة).

أولاً: تعريف الأعداد الناطقة

الأعداد الناطقة (أو الأعداد الكسرية) هي الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر a/b حيث a و b عددان صحيحان نسبيان و b ≠ 0.

نرمز لمجموعة الأعداد الناطقة بالرمز Q.

أمثلة: ½، ¾، −⅓، 2.5، −0.75، 0

ثانياً: تمثيل الأعداد الناطقة على المستقيم المدرج

نمثل كل عدد ناطق بنقطة على المستقيم المدرج. الأعداد الموجبة توضع على يمين الصفر والأعداد السالبة على يسار الصفر.

مثال: مثل الأعداد ½، −¾، ⅓ على المستقيم المدرج.

ثالثاً: المقارنة والترتيب

لمقارنة عددين ناطقين:

• إذا كان لهما نفس المقام: نقارن البسطين: a/c > b/c إذا كان a > b.
• إذا كان لهما مقامان مختلفان: نوحد المقامات ثم نقارن البسطين.
• الأعداد السالبة: العدد السالب الأصغر هو الأبعد عن الصفر. مثلاً: −5 < −3.

مثال: رتب الأعداد التالية تصاعدياً: ¾، −½، ⅔، −¼

الحل: −½ < −¼ < ⅔ < ¾ (بعد توحيد المقامات: −6/12 < −3/12 < 8/12 < 9/12)

رابعاً: العمليات على الأعداد الناطقة

1. الجمع والطرح

لجمع أو طرح عددين ناطقين، نوحد المقامات ثم نجمع أو نطرح البسطين.

مثال: ¾ + ⅙ = 9/12 + 2/12 = 11/12

مثال: ⅚ − ¼ = 10/12 − 3/12 = 7/12

2. الضرب

نضرب البسط في البسط والمقام في المقام: a/b × c/d = (a×c)/(b×d)

مثال: ⅔ × ¾ = (2×3)/(3×4) = 6/12 = ½

3. القسمة

نضرب العدد الأول في مقلوب العدد الثاني: a/b ÷ c/d = a/b × d/c

مثال: ¾ ÷ ⅔ = ¾ × 3/2 = 9/8

خامساً: أمثلة محلولة شاملة

مثال 1: أحسب: A = ⅔ − ½ + ⅚

الحل: نوحد المقامات (المقام المشترك 6): A = 4/6 − 3/6 + 5/6 = (4−3+5)/6 = 6/6 = 1

مثال 2: أحسب: B = (¾ − ⅓) × ⅚

الحل: B = (9/12 − 4/12) × 5/6 = 5/12 × 5/6 = 25/72

سادساً: تمارين تطبيقية

1. التمرين الأول: أحسب ما يلي:
   • ⅚ + ¼ − ⅓
   • ⅔ × ¾ ÷ ⅚
2. التمرين الثاني: رتب الأعداد التالية تصاعدياً: −⅔، ½، −⅚، ¾
3. التمرين الثالث: إذا كان لدينا ¾ لتر من الحليب، وأضفنا ⅓ لتر، ثم شربنا ½ لتر، فكم يتبقى؟

الخلاصة:

• الأعداد الناطقة Q هي الأعداد التي تكتب على شكل كسر a/b.
• نمثلها على المستقيم المدرج ونقارنها بتوحيد المقامات.
• نجمع ونطرح بعد توحيد المقامات، ونضرب البسط في البسط والمقام في المقام، ونقسم بضرب العدد الأول في مقلوب الثاني.
• الأعداد الناطقة تشمل الأعداد الطبيعية والصحيحة والعشرية والكسرية.

دروس مشابهة:

• الأعداد النسبية (الموجبة والسالبة) — الرياضيات — السنة الثانية متوسط
• الترتيب والعمليات على الأعداد النسبية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط