القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM) — مفهومهما وطرق حسابهما مع أمثلة وتمارين — الرياضيات — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري

القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

أهداف الدرس

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم القاسم المشترك الأكبر (PGCD)
• أن يتعرف على مفهوم المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)
• أن يتقن طرق حساب PGCD و PPCM
• أن يوظف PGCD و PPCM في حل المسائل

أولاً: القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

تعريف: القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين طبيعيين هو أكبر عدد صحيح طبيعي يقسم كلاً منهما دون باقٍ.

العددان	قواسم كل عدد	القواسم المشتركة	PGCD
12 و 18	قواسم 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 قواسم 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18	1, 2, 3, 6	6
24 و 36	قواسم 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 قواسم 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36	1, 2, 3, 4, 6, 12	12

طريقة حساب PGCD بطريقة القسمة الإقليدية (خوارزمية إقليدس)

نقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر، ثم نأخذ الباقي ونقسم عليه المقسوم عليه السابق، وهكذا حتى يصبح الباقي صفراً. آخر مقسوم عليه هو PGCD.

مثال: احسب PGCD(48, 18)

• 48 ÷ 18 = 2 والباقي 12
• 18 ÷ 12 = 1 والباقي 6
• 12 ÷ 6 = 2 والباقي 0
• إذن: PGCD(48, 18) = 6

ثانياً: المضاعف المشترك الأصغر (PPCM)

تعريف: المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين طبيعيين هو أصغر عدد صحيح طبيعي يقبل القسمة على كلا العددين دون باقٍ.

العددان	مضاعفات كل عدد	المضاعفات المشتركة	PPCM
4 و 6	مضاعفات 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28… مضاعفات 6: 6, 12, 18, 24, 30…	12, 24, 36…	12
6 و 8	مضاعفات 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36… مضاعفات 8: 8, 16, 24, 32, 40…	24, 48…	24

العلاقة بين PGCD و PPCM

لكل عددين صحيحين طبيعيين a و b:

a × b = PGCD(a, b) × PPCM(a, b)

مثال: إذا كان PGCD(6, 8) = 2، فإن PPCM(6, 8) = (6 × 8) ÷ 2 = 48 ÷ 2 = 24

تمارين محلولة

التمرين 1: احسب PGCD(56, 42)

الحل:

• 56 ÷ 42 = 1 والباقي 14
• 42 ÷ 14 = 3 والباقي 0
• إذن: PGCD(56, 42) = 14

التمرين 2: احسب PPCM(12, 15)

الحل:

• PGCD(12, 15) = 3
• PPCM(12, 15) = (12 × 15) ÷ 3 = 180 ÷ 3 = 60

خلاصة

• PGCD هو أكبر عدد يقسم عددين معاً — نحسبه بالقسمة الإقليدية المتكررة
• PPCM هو أصغر عدد يقبل القسمة على عددين معاً
• العلاقة: a × b = PGCD(a, b) × PPCM(a, b)

📚 دروس مشابهة

• أنواع الجموع في اللغة العربية — جمع المذكر السالم وجمع المؤنث السالم وجمع التكسير
• قياس درجة الحرارة — الترمومترات وأنواعها — العلوم الفيزيائية