موضوع امتحان بكالوريا 2016 في الرياضيات مع الحل – شعبة تقني رياضي

موضوع امتحان شهادة البكالوريا 2016

المادة: الرياضيات — الشعبة: تقني رياضي

---

التمرين الأول: (4 نقاط)

نعتبر العدد المركب: z = (1 + i√3) / (1 – i)

1. اكتب العدد z على الشكل الجبري a + ib. (1 نقطة)
2. احسب معيار العدد z وعمدة له. (1.5 نقاط)
3. اكتب العدد z على الشكل المثلثي. (1.5 نقاط)

الحل:

1. الشكل الجبري:

z = (1 + i√3) / (1 – i)

نضرب في مرافق المقام: (1 + i√3)(1 + i) / (1 – i)(1 + i)

= (1 + i + i√3 + i²√3) / (1² + 1²)

= (1 + i + i√3 – √3) / 2

= ((1 – √3) + i(1 + √3)) / 2

= (1 – √3)/2 + i(1 + √3)/2

2. المعيار والعمدة:

|z| = √[((1 – √3)/2)² + ((1 + √3)/2)²]

= √[(1 – 2√3 + 3 + 1 + 2√3 + 3) / 4]

= √(8/4) = √2

cos θ = (1 – √3)/(2√2)

sin θ = (1 + √3)/(2√2)

θ = 7π/12 (أو 105°)

3. الشكل المثلثي:

z = √2(cos(7π/12) + i sin(7π/12))

---

التمرين الثاني: (5 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على ℝ ب: f(x) = x³ – 3x² + 3x – 1

1. بين أن f(x) = (x – 1)³. (1 نقطة)
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f. (2 نقاط)
3. احسب نهايات الدالة عند ±∞. (1 نقطة)
4. أوجد معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الأفصول x = 2. (1 نقطة)

الحل:

1. التحليل:

f(x) = x³ – 3x² + 3x – 1

باستخدام المتطابقة (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³، نجد:

f(x) = (x – 1)³

2. اتجاه التغير:

f'(x) = 3(x – 1)² ≥ 0 لكل x

إذن الدالة f متزايدة على ℝ.

3. النهايات:

lim f(x) = +∞ عندما x → +∞

lim f(x) = -∞ عندما x → -∞

4. معادلة المماس عند x = 2:

f(2) = (2 – 1)³ = 1

f'(2) = 3(2 – 1)² = 3

المعادلة: y = f'(2)(x – 2) + f(2) = 3(x – 2) + 1 = 3x – 5

إذن y = 3x – 5

---

التمرين الثالث: (5 نقاط)

في معلم متعامد، نعتبر النقط A(1, 2)، B(3, 6)، C(5, 2).

1. بين أن المثلث ABC قائم ومتساوي الساقين. (2 نقاط)
2. أوجد إحداثيات مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC. (1.5 نقاط)
3. أوجد معادلة هذه الدائرة. (1.5 نقاط)

الحل:

1. طبيعة المثلث:

AB = √[(3-1)² + (6-2)²] = √(4 + 16) = √20

AC = √[(5-1)² + (2-2)²] = √16 = 4

BC = √[(5-3)² + (2-6)²] = √(4 + 16) = √20

AB = BC = √20، إذن المثلث متساوي الساقين.

وبحسب فيثاغورس: AB² + BC² = 20 + 20 = 40 = (√40)² = AC²

إذن المثلث قائم في B.

2. مركز الدائرة المحيطة:

مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف الوتر AC.

Ω = ((1+5)/2, (2+2)/2) = (3, 2)

3. معادلة الدائرة:

نصف القطر R = AC/2 = 4/2 = 2

المعادلة: (x – 3)² + (y – 2)² = 4

---

التمرين الرابع: (6 نقاط)

حل في ℝ النظام التالي:

x + y – z = 2

2x – y + z = 1

x + 2y + z = 7

الحل:

نكتب النظام على شكل مصفوفة:

| 1 1 -1 | 2 |

| 2 -1 1 | 1 |

| 1 2 1 | 7 |

L₂ ← L₂ – 2L₁: | 0 -3 3 | -3 |

L₃ ← L₃ – L₁: | 0 1 2 | 5 |

L₂ ← L₂ / (-3): | 0 1 -1 | 1 |

L₃ ← L₃ – L₂: | 0 0 3 | 4 |

إذن: z = 4/3

y – 4/3 = 1 ⇒ y = 7/3

x + 7/3 – 4/3 = 2 ⇒ x + 1 = 2 ⇒ x = 1

الحل: {(1, 7/3, 4/3)}

انتهى الحل النموذجي.