موضوع امتحان بكالوريا 2025 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

📌 التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على المجال ]0 ; +∞[ بـ:

f(x) = x² − 2ln x

1. احسب lim_x→0⁺ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f وشكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً وحيداً α في المجال ]1, 2[.
4. أكتب معادلة المماس (T) للمنحنى (C_f) عند النقطة ذات الفاصلة x = 1.
5. احسب ∫₁^e f(x) dx.

📌 التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر الأعداد المركبة C :

Z = (1 + i√3)ⁿ / (1 − i)²

1. اكتب العدد (1 + i√3) على الشكل المثلثي.
2. اكتب العدد (1 − i) على الشكل المثلثي.
3. استنتج الشكل المثلثي للعدد Z بدلالة n.
4. أوجد قيم n الطبيعية التي يكون من أجلها Z عدداً حقيقياً موجباً.
5. أوجد قيم n الطبيعية التي يكون من أجلها Z عدداً تخيلياً صرفاً.

📌 التمرين الثالث (05 نقاط)

في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O; i→, j→, k→)، نعتبر النقط:

A(0, 1, 2), B(1, 2, 0), C(2, 0, 1)

1. بين أن النقط A, B, C تحدد مستويًا.
2. بين أن المستوى (ABC) معادلته: x + y + z − 3 = 0.
3. احسب المسافة بين النقطة D(1, 1, 1) والمستوى (ABC).
4. أوجد إحداثيات H المسقط العمودي للنقطة D على (ABC).
5. بين أن النقط A, B, C, D هي رؤوس هرم منتظم.

📌 التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 6 كريات بيضاء و 4 كريات سوداء. نسحب عشوائياً 3 كريات في آن واحد.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات بيضاء.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين بيضاوين على الأقل.
4. نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد الكريات السوداء المسحوبة. عين قانون احتمال X.
5. احسب الأمل الرياضياتي E(X) والتباين V(X).

🔹 حل التمرين الأول

1. النهايات:
   • lim_x→0⁺ f(x) = lim_x→0⁺ (x² − 2ln x) = 0 − (−∞) = +∞
   • lim_x→+∞ f(x) = lim_x→+∞ (x² − 2ln x) = +∞
2. اتجاه التغير:
   f′(x) = 2x − 2/x = 2(x² − 1)/x = 2(x − 1)(x + 1)/x
   على ]0, +∞[, إشارة f′(x) هي إشارة (x − 1)
   f′(x) < 0 على ]0, 1[, f′(x) = 0 عند x = 1, f′(x) > 0 على ]1, +∞[
   f(1) = 1 − 0 = 1
   جدول التغيرات:
   x : 0 → 1 → +∞
   f′(x) : − → 0 → +
   f(x) : +∞ ↘ 1 ↗ +∞
3. f(1) = 1 > 0, f(2) = 4 − 2ln2 = 4 − 1.386 = 2.614 > 0
   الدالة مستمرة ومتزايدة على [1, +∞[ و f(1) > 0، إذن لا يوجد حل في ]1, 2[.
   نلاحظ أن f(1) = 1 > 0 و f(e⁻¹) = e⁻² − 2(−1) = e⁻² + 2 > 0
   f(α) = 0 ⇒ α² = 2ln α ⇒ هذا يعطينا α = 1 (حيث 1² = 2ln1 = 0، لا)
4. المماس:
   f(1) = 1, f′(1) = 0
   (T): y = 1
5. التكامل:
   ∫ (x² − 2ln x) dx = x³/3 − 2(x ln x − x) = x³/3 − 2x ln x + 2x
   ∫₁^e f(x) dx = [e³/3 − 2e + 2e] − [1/3 − 0 + 2] = e³/3 − 1/3 − 2 = (e³ − 7)/3

🔹 حل التمرين الثاني

1. |1 + i√3| = √(1 + 3) = 2
   cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 ⇒ θ = π/3 [2π] 1 + i√3 = 2(cos π/3 + i sin π/3) = 2e^iπ/3
2. |1 − i| = √(1 + 1) = √2
   cos φ = 1/√2, sin φ = −1/√2 ⇒ φ = −π/4 [2π] 1 − i = √2(cos(−π/4) + i sin(−π/4)) = √2 e^−iπ/4
3. Z = (2 e^iπ/3)ⁿ / (√2 e^−iπ/4)² = 2ⁿ e^inπ/3 / (2 e^−iπ/2)
   = 2ⁿ⁻¹ e^{i(nπ/3 + π/2)}
4. Z حقيقي موجب ⇔ nπ/3 + π/2 = 2kπ (k ∈ ℤ)
   nπ/3 = 2kπ − π/2 ⇒ n = 6k − 3/2 (ليس عدداً طبيعياً)
   أو Z حقيقي موجب ⇔ sin(nπ/3 + π/2) = 0 و cos(nπ/3 + π/2) > 0
   nπ/3 + π/2 = 2kπ ⇒ n = 6k − 3/2 ∉ ℕ
   أو nπ/3 + π/2 = π + 2kπ ⇒ n = 6k + 3/2 ∉ ℕ
   إذن لا يوجد n ∈ ℕ يجعل Z حقيقياً موجباً.
5. Z تخيلي صرف ⇔ cos(nπ/3 + π/2) = 0
   nπ/3 + π/2 = π/2 + kπ ⇒ nπ/3 = kπ ⇒ n = 3k
   مع sin(3k·π/3 + π/2) = sin(kπ + π/2) = (−1)ᵏ ≠ 0
   إذن n = 3k, k ∈ ℕ.

🔹 حل التمرين الثالث

1. AB→ = (1, 1, −2), AC→ = (2, −1, −1)
   1·(−1) − 1·(−2) = 1 ≠ 0, إذن A, B, C غير مستقيمية.
2. n→ = AB→ × AC→ = (1·(−1) − (−2)·(−1), (−2)·2 − 1·(−1), 1·(−1) − 1·2)
   = (−1 − 2, −4 + 1, −1 − 2) = (−3, −3, −3)
   n→ = (−3, −3, −3) أو n→ = (1, 1, 1)
   المعادلة: 1(x − 0) + 1(y − 1) + 1(z − 2) = 0
   x + y + z − 3 = 0 ✓
3. d(D, (ABC)) = |1 + 1 + 1 − 3|/√(1 + 1 + 1) = 0/√3 = 0
   إذن D ∈ (ABC).
4. بما أن D ينتمي للمستوى، المسقط العمودي هو D نفسه.
5. نحسب المسافات:
   AB = √(1 + 1 + 4) = √6
   AC = √(4 + 1 + 1) = √6
   BC = √(1 + 4 + 1) = √6
   إذن ABC مثلث متساوي الأضلاع. ولأن D ∈ (ABC)، النقط ليست هرمًا بل تقع في نفس المستوى.

🔹 حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C(10, 3) = 120
2. P(3 بيضاء) = C(6, 3)/120 = 20/120 = 1/6
3. P(بيضاوين على الأقل) = P(2ب + 1س) + P(3ب) = [C(6, 2)·C(4, 1) + C(6, 3)]/120
   = [15·4 + 20]/120 = (60 + 20)/120 = 80/120 = 2/3
4. قانون احتمال X (عدد الكريات السوداء):
   X ∈ {0, 1, 2, 3}
   P(X = 0) = C(6, 3)/120 = 20/120 = 1/6
   P(X = 1) = C(4, 1)·C(6, 2)/120 = 4·15/120 = 60/120 = 1/2
   P(X = 2) = C(4, 2)·C(6, 1)/120 = 6·6/120 = 36/120 = 3/10
   P(X = 3) = C(4, 3)/120 = 4/120 = 1/30
5. E(X) = 0·1/6 + 1·1/2 + 2·3/10 + 3·1/30
   = 0 + 0.5 + 0.6 + 0.1 = 1.2
   V(X) = E(X²) − (E(X))²
   E(X²) = 0²·1/6 + 1²·1/2 + 2²·3/10 + 3²·1/30
   = 0 + 0.5 + 1.2 + 0.3 = 2.0
   V(X) = 2 − 1.44 = 0.56