موضوع امتحان بكالوريا 2015 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

التمرين الأول (05 نقاط)

نعتبر الدالة f المعرفة على R بـ:

f(x) = e^x − x

1. احسب lim_x→−∞ f(x) و lim_x→+∞ f(x).
2. ادرس اتجاه تغير الدالة f وشكل جدول تغيراتها.
3. بين أن المستقيم (D) ذا المعادلة y = −x مقارب مائل للمنحنى (Cf) عند −∞.
4. أكتب معادلة المماس عند النقطة ذات الفاصلة x = 0.
5. احسب المساحة المحصورة بين المنحنى (Cf) والمستقيم (D) والمستقيمين x = 0 و x = 1.

التمرين الثاني (05 نقاط)

نعتبر الأعداد المركبة:

z² − 2z + 4 = 0

1. حل في C المعادلة: z² − 2z + 4 = 0.
2. نضع z1 = 1 + i√3 و z2 = 1 − i√3. اكتب z1 على الشكل المثلثي.
3. احسب (z1)³ و (z2)³.
4. احسب (z1)²⁰²⁴ + (z2)²⁰²⁴.

التمرين الثالث (05 نقاط)

نعتبر المتتالية (un) المعرفة بـ:

u0 = 0 و un+1 = (un + 3) / 2

1. احسب u1 و u2 و u3.
2. بين بالترجع أن un ≤ 3 لكل n.
3. ادرس رتابة المتتالية (un).
4. بين أن (un) متقاربة نحو 3.
5. أوجد قيمة lim_n→∞ un.

التمرين الرابع (05 نقاط)

صندوق يحتوي على 5 كريات حمراء و 3 كريات سوداء و 2 كريتين بيضاوين. نسحب عشوائيا 3 كريات في آن واحد.

1. ما هو عدد السحوبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كريات من ألوان مختلفة.
3. احسب احتمال الحصول على كريتين حمراوين على الأقل.
4. نعتبر X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكريات السوداء المسحوبة. عين قانون احتمال X.
5. احسب E(X) و V(X).

حل التمرين الأول

1. lim_x→−∞ (e^x − x) = 0 + ∞ = +∞
   lim_x→+∞ (e^x − x) = +∞
2. f'(x) = e^x − 1
   f'(x) = 0 ⇔ e^x = 1 ⇔ x = 0
   f'(x) < 0 على ]−∞, 0[ و f'(x) > 0 على ]0, +∞[
   f(0) = 1 − 0 = 1
   جدول: −∞ → 0 → +∞
   f: +∞ ↓ 1 ↑ +∞
3. lim_x→−∞ (f(x) − (−x)) = lim e^x = 0
   إذن y = −x مقارب مائل عند −∞.
4. f'(0) = 0, f(0) = 1
   (T): y = 1
5. A = ∫₀¹ (f(x) − (−x)) dx = ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1

حل التمرين الثاني

1. Δ = 4 − 16 = −12 = 12i²
   z = (2 ± 2i√3)/2 = 1 ± i√3
2. |z1| = √(1 + 3) = 2
   cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 ⇒ θ = π/3
   z1 = 2(cos π/3 + i sin π/3)
3. z1³ = 8(cos π + i sin π) = −8
   z2³ = 8(cos(−π) + i sin(−π)) = −8
4. z1²⁰²⁴ = 2²⁰²⁴(cos(2024π/3) + i sin(2024π/3))
   2024π/3 = 674π + 2π/3
   cos(2π/3) = −1/2, sin(2π/3) = √3/2
   متممات: z1²⁰²⁴ + z2²⁰²⁴ = 2²⁰²⁴ × 2 cos(2π/3) = 2²⁰²⁴ × (−1) = −2²⁰²⁴

حل التمرين الثالث

1. u1 = 3/2, u2 = 9/4 = 2.25, u3 = 21/8 = 2.625
2. نفترض un ≤ 3: un+1 = (un + 3)/2 ≤ (3 + 3)/2 = 3. بالترجع un ≤ 3.
3. un+1 − un = (un + 3)/2 − un = (3 − un)/2 ≥ 0 (لأن un ≤ 3). إذن (un) متزايدة.
4. (un) متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 3، إذن متقاربة نحو L حيث L = (L + 3)/2 ⇒ L = 3.
5. lim un = 3

حل التمرين الرابع

1. عدد السحوبات: C(10, 3) = 120
2. P(ألوان مختلفة) = C(5,1)×C(3,1)×C(2,1)/120 = 5×3×2/120 = 30/120 = 1/4
3. P(حمراوين على الأقل) = P(2ح + 1أخ) + P(3ح) = [C(5,2)×C(5,1) + C(5,3)]/120 = [10×5 + 10]/120 = 60/120 = 1/2
4. X = عدد الكريات السوداء (من 0 إلى 3).
   P(X=0)=C(7,3)/120=35/120=7/24
   P(X=1)=C(3,1)×C(7,2)/120=3×21/120=63/120=21/40
   P(X=2)=C(3,2)×C(7,1)/120=3×7/120=21/120=7/40
   P(X=3)=C(3,3)/120=1/120
5. E(X) = Σ x⋅P(X=x) = 0×7/24 + 1×21/40 + 2×7/40 + 3×1/120 = 0 + 0.525 + 0.35 + 0.025 = 0.9
   E(X²) = 0 + 1×21/40 + 4×7/40 + 9×1/120 = 0.525 + 0.7 + 0.075 = 1.3
   V(X) = 1.3 − 0.81 = 0.49