مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
دراسة الدوال العددية: الرتابة والقيم القصوى والتمثيل البياني والمماس مع تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري
\\n\\n
الأهداف التعليمية:
\\n
- \\n
- تحديد رتابة دالة (تزايد، تناقص) باستخدام المشتقة
- إيجاد القيم القصوى (النهايات العظمى والصغرى)
- تمثيل الدوال بيانياً ودراسة إشارتها
- معادلة المماس لمنحنى دالة في نقطة
- حل مسائل بكالوريا في دراسة الدوال
\\n
\\n
\\n
\\n
\\n
\\n\\n
1. رتابة الدالة (Monotonie d une fonction)
\\n
تعريف: نقول عن دالة f أنها:
\\n
- \\n
- متزايدة على مجال I إذا كان: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)
- متناقصة على مجال I إذا كان: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)
- ثابتة على مجال I إذا كان: f(x) = c (عدد ثابت)
\\n
\\n
\\n
\\n\\n
رابطة الرتابة بإشارة المشتقة:
\\n
\\nنظرية: لتكن f دالة قابلة للاشتقاق على مجال I.
\\n① إذا كانت f\\\\'(x) ≥ 0 لكل x ∈ I، فإن f متزايدة على I.
\\n② إذا كانت f\\\\'(x) ≤ 0 لكل x ∈ I، فإن f متناقصة على I.
\\n③ إذا كانت f\\\\'(x) = 0 لكل x ∈ I، فإن f ثابتة على I.\\n
\\n\\n
2. القيم القصوى (Extremums)
\\n
تعريف: القيم القصوى هي القيم العظمى (الأكبر) أو الصغرى (الأصغر) التي تبلغها الدالة على مجال معين.
\\n\\n
شروط وجود قيمة قصوى:
\\n
- \\n
- إذا تغيرت إشارة f\\\\’ من (+) إلى (-) عند x₀، فإن f(x₀) قيمة عظمى محلية
- إذا تغيرت إشارة f\\\\’ من (-) إلى (+) عند x₀، فإن f(x₀) قيمة صغرى محلية
- إذا لم تتغير إشارة f\\\\’ عند x₀، فإن x₀ ليس نقطة قصوى
\\n
\\n
\\n
\\n\\n
ملاحظة: القيمة القصوى المحلية قد لا تكون القيمة القصوى المطلقة للدالة على مجالها.
\\n\\n
3. معادلة المماس (Équation de la tangente)
\\n
المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة ذات الفاصلة x₀ هو مستقيم معادلته:
\\nn
\\ny = f\\\\'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)\\n
\\n
أي: y = f\\\\'(x₀)·x + (f(x₀) – x₀·f\\\\'(x₀))
\\n\\n
4. خطوات دراسة دالة
\\n
- \\n
- مجال التعريف: تحديد D_f (حيث الدالة معرفة)
- النهايات: حساب النهايات عند حدود المجال
- المشتقة: حساب f\\\\'(x) ودراسة إشارتها
- جدول التغيرات: إنشاء جدول يلخص رتابة الدالة والقيم القصوى
- التمثيل البياني: رسم المنحنى (C_f)
- المماس: معادلة المماس في نقاط محددة
\\n
\\n
\\n
\\n
\\n
\\n
\\n\\n
5. تمارين بكالوريا محلولة
\\n
التمرين 1: ادرس رتابة الدالة f(x) = x² – 4x + 3 على ℝ.
\\n
الحل:
\\nf\\\\'(x) = 2x – 4 = 2(x – 2)
\\nإشارة f\\\\'(x): f\\\\'(x) = 0 ⇔ x = 2
\\nجدول الإشارة والتغيرات:
\\n
| x | -∞ | 2 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f\\\\'(x) | – | 0 | + | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | -1 | ↗ | +∞ |
\\n
إذن: f متناقصة على ]-∞, 2] ومتزايدة على [2, +∞[. القيمة الصغرى هي f(2) = -1.
\\n\\n
التمرين 2: للدالة f(x) = x³ – 3x المعرفة على ℝ. أ) أحسب f\\\\'(x). ب) ادرس رتابة f. ج) أوجد القيم القصوى.
\\n
الحل:
\\nأ) f\\\\'(x) = 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
\\nب) إشارة f\\\\’: موجبة على ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[, سالبة على ]-1, 1[
\\nج) f متزايدة على ]-∞, -1] و [1, +∞[, متناقصة على [-1, 1]\\nf(-1) = -1 + 3 = 2 (قيمة عظمى محلية)
\\nf(1) = 1 – 3 = -2 (قيمة صغرى محلية)
\\n\\n
التمرين 3: أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x) = x² عند النقطة ذات الفاصلة x₀ = 3.
\\n
الحل:
\\nf\\\\'(x) = 2x ⇒ f\\\\'(3) = 6
\\nf(3) = 9
\\nمعادلة المماس: y = 6(x – 3) + 9 = 6x – 18 + 9 = 6x – 9
\\n\\n
التمرين 4 (بكالوريا): الدالة f(x) = -x³ + 3x² – 2. أ) أحسب f\\\\'(x). ب) ادرس إشارتها. ج) شكل جدول التغيرات. د) اكتب معادلة المماس عند x₀ = 1.
\\n
الحل:
\\nأ) f\\\\'(x) = -3x² + 6x = -3x(x – 2)
\\nب) f\\\\'(x) = 0 ⇔ x = 0 أو x = 2
\\nج) جدول التغيرات:
\\n
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f\\\\'(x) | – | 0 | + | 0 | – | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | -2 | ↗ | 2 | ↘ | -∞ |
\\n
د) f\\\\'(1) = -3(1)(-1) = 3. f(1) = -1 + 3 – 2 = 0
\\nالمماس: y = 3(x – 1) + 0 = 3x – 3
\\n\\n
دروس مشابهة:
\n
- \n
- الدوال كثيرات الحدود: دراسة وتحليل مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — الرياضيات — المنهاج الجزائري
- التشتت والانحراف المعياري: المدى والتباين والانحراف المعياري مع تمارين محلولة – الثانية ثانوي (رياضيات) – المنهاج الجزائري
- الاحتمالات (مقدمة): الأحداث والعمليات على الأحداث وقانون الاحتمال مع تمارين محلولة — الثانية ثانوي — رياضيات — المنهاج الجزائري
\n
\n
\n
\
? تذكر: خطوات دراسة دالة: المشتقة ← إشارة المشتقة ← جدول التغيرات ← القيم القصوى ← المماس. النوع الثالث من التمارين (البكالوريا) يتطلب إتقان هذه الخطوات الأربع.
