الهندسة التحليلية: المستقيم في المستوى (معادلة مستقيم، ميل مستقيم، التوازي والتعامد) مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الأولى ثانوي, تربية وتعليم, دروس الثانوي ضع تعليق

الهندسة التحليلية: المستقيم في المستوى (معادلة مستقيم، ميل مستقيم، التوازي والتعامد)

الأهداف التعليمية:

التعرف على مفهوم المعلم في المستوى (المتعامد والمتجانس)
حساب ميل مستقيم ومعرفة دلالته الهندسية
إيجاد معادلة مستقيم في مختلف صورها
تطبيق شرطي التوازي والتعامد بين المستقيمات

1. تمهيد

الهندسة التحليلية هي فرع من الرياضيات يدمج بين الهندسة والجبر، حيث تستعمل المعادلات لتمثيل الأشكال الهندسية. وقد أسسها العالمان الفرنسيان رينيه ديكارت وبيار دي فيرما في القرن 17، وأصبحت أداة أساسية في الرياضيات والفيزياء.

2. المعلم في المستوى

المعلم (O,i⃗,j⃗) يتكون من:

O: أصل المعلم (نقطة البداية)
i⃗: متجهة الوحدة على محور الفواصل (Ox)
j⃗: متجهة الوحدة على محور التراتيب (Oy)

إذا كان i⃗ ⟂ j⃗ (متعامدين) و||i⃗|| = ||j⃗|| = 1، فالمعلم متعامد متجانس.

3. ميل المستقيم (الموجهة)

تعريف: ميل مستقيم (D) غير موازٍ لمحور التراتيب (Oy) هو العدد الحقيقي a الذي يعبر عن اتجاه المستقيم.

صيغة حساب الميل: إذا كان A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂) نقطتين من المستقيم (D)، فإن ميله هو:

a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) (حيث x₂ ≠ x₁)

ملاحظات:

إذا كان a > 0: المستقيم متصاعد (يميل للأعلى)
إذا كان a < 0: المستقيم متنازل (يميل للأسفل)
إذا كان a = 0: المستقيم أفقي (موازٍ لمحور الفواصل)
إذا كان المستقيم عمودياً (موازياً لـ Oy): الميل غير معرف

4. معادلة مستقيم

للمستقيم في المستوى عدة صيغ للمعادلة:

أ. المعادلة المختصرة (الأصلية):

y = ax + b

a: ميل المستقيم
b: تقاطع المستقيم مع محور التراتيب (قيمة y عندما x = 0)

ب. المعادلة العامة (الديكارتية):

ax + by + c = 0

المتجهة n⃗(a, b) متجهة مناظرة (ناظمة) للمستقيم
متجهة التوجيه: u⃗(−b, a) أو u⃗(b, −a)
الميل: a = −a/b (حيث b ≠ 0)

ج. معادلة مستقيم يمر من نقطة:

مستقيم يمر من A(x₀, y₀) وميله a: y − y₀ = a(x − x₀)

د. معادلة مستقيم يمر من نقطتين:

إذا مر المستقيم من A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂):

(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)

أو: y − y₁ = [(y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)] (x − x₁)

5. التوازي والتعامد بين مستقيمين

الخاصية	الشرط	مثال
توازي مستقيمين	ميلاهما متساويان a₁ = a₂	y = 2x + 3 و y = 2x − 5 متوازيان
تعامد مستقيمين	حاصل ضرب ميلاهما = −1 a₁ × a₂ = −1	y = 3x + 1 و y = −(1/3)x + 4 متعامدان
حالة خاصة	مستقيم أفقي (a=0) عمودي على مستقيم عمودي (غير معرف الميل)	y = 5 عمودي على x = 2

6. تمارين محلولة

التمرين 1: احسب ميل المستقيم المار من النقطتين A(2, 3) و B(5, 9).

الحل: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (9 − 3)/(5 − 2) = 6/3 = 2. الميل = 2 (المستقيم متصاعد).

التمرين 2: اكتب معادلة المستقيم (D) المار من النقطة A(1, 2) والميل a = −3.

الحل: باستخدام الصيغة: y − y₀ = a(x − x₀)
y − 2 = −3(x − 1) → y − 2 = −3x + 3 → y = −3x + 5
إذن معادلة المستقيم هي: y = −3x + 5

التمرين 3: هل المستقيمان (D₁): y = 4x − 2 و (D₂): y = −¼ x + 3 متعامدان؟

الحل: ميل D₁: a₁ = 4. ميل D₂: a₂ = −¼.
a₁ × a₂ = 4 × (−¼) = −1
بما أن حاصل ضرب الميلين = −1، فإن المستقيمين متعامدان.

التمرين 4 (بكالوريا): عين معادلة المستقيم (Δ) الذي يمر من النقطة A(3, −1) ويوازي المستقيم (D): 2x − 3y + 5 = 0.

الحل: نوجد ميل (D) أولاً: 2x − 3y + 5 = 0 → −3y = −2x − 5 → y = (2/3)x + 5/3، إذاً a_D = 2/3.
المستقيم (Δ) يوازي (D) → a_Δ = a_D = 2/3.
معادلة (Δ): y − (−1) = (2/3)(x − 3) → y + 1 = (2/3)x − 2 → y = (2/3)x − 3
بالصورة العامة: 2x − 3y − 9 = 0

7. خلاصة

الهندسة التحليلية تمكننا من تمثيل الأشكال الهندسية بمعادلات جبرية. الميل يحدد اتجاه المستقيم، ومعادلة المستقيم تصف جميع نقاطه. شرطا التوازي (a₁ = a₂) والتعامد (a₁ × a₂ = −1) أساسيان في حل المسائل الهندسية.

الهندسة التحليلية: المستقيم في المستوى (معادلة مستقيم، ميل مستقيم، التوازي والتعامد) مع تمارين محلولة — الرياضيات — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري