المرجح في المستوى (Barycentre): تعريفه وخواصه وتمارين محلولة – الأولى ثانوي – رياضيات – المنهاج الجزائري

الدرس: المرجح في المستوى (Barycentre) – الرياضيات – الأولى ثانوي

أهداف الدرس:

• تعريف المرجح في المستوى لنقطتين وثلاث نقاط.
• فهم الخاصية الأساسية للمرجح.
• إحداثيات المرجح في معلم متعامد.
• تطبيقات المرجح في الهندسة والفيزياء.

شرح الدرس:

أولا: مرجح نقطتين
ليكن A و B نقطتين في المستوى و a و b عددين حقيقيين غير معدومين مجموعهما غير معدوم. المرجح G للنقطتين A و B المرفقتين بالمعاملين a و b هو النقطة G الوحيدة التي تحقق:
a.GA + b.GB = 0 (المتجهات)
أو بطريقة أخرى: G تنتمي إلى المستقيم (AB) وتحقق: AG = [b/(a+b)] x AB

ثانيا: مرجح ثلاث نقاط
ليكن A و B و C نقاطا في المستوى و a و b و c أعدادا حقيقية غير معدومة مجموعها غير معدوم. المرجح G يحقق:
a.GA + b.GB + c.GC = 0

ثالثا: الخاصية الأساسية (التجميع)
إذا كان G مرجح (A,a) و (B,b) و (C,c) فإنه يمكن تجميع بعض النقاط للحصول على مرجح جزئي. مثلا: G مرجح (A,a) و (H, b+c) حيث H مرجح (B,b) و (C,c).

رابعا: إحداثيات المرجح
في معلم متعامد، إذا كان A(xA,yA) و B(xB,yB) و C(xC,yC)، فإن إحداثيات المرجح G(xG,yG) هي:
xG = (a.xA + b.xB + c.xC) / (a+b+c)
yG = (a.yA + b.yB + c.yC) / (a+b+c)

خامسا: تطبيقات المرجح

• مركز ثقل المثلث: هو مرجح رؤوسه بمعاملات متساوية.
• مركز ثقل نظام نقطي مادي.
• إثبات استقامية النقط والتقاء المستقيمات.

تمارين تطبيقية:

التمرين 1: عين مرجح النقطتين A(1,2) و B(5,6) بالمعاملين (A,1) و (B,3).

التمرين 2: ABC مثلث رؤوسه A(1,1) و B(3,5) و C(7,1). أوجد إحداثيات مركز ثقل المثلث.

الحلول النموذجية:

حل التمرين 1:
xG = (1×1+3×5)/(1+3) = (1+15)/4 = 16/4 = 4
yG = (1×2+3×6)/4 = (2+18)/4 = 20/4 = 5
إذن G(4,5).

حل التمرين 2:
xG = (1+3+7)/3 = 11/3
yG = (1+5+1)/3 = 7/3
إذن مركز الثقل هو G(11/3, 7/3).

دروس مشابهة:

درس المتجهات في المستوى
درس الهندسة التحليلية في المستوى