المعادلات التفاضلية البسيطة (Équations Différentielles): المعادلات من الدرجة الأولى y’ = ay + b — الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات — المنهاج الجزائري

📘 مقدمة

المعادلات التفاضلية (Équations différentielles) تربط بين دالة ومشتقاتها، وهي أدوات رياضية أساسية في الفيزياء والكيمياء والعلوم الطبيعية. هذا الدرس يغطي المعادلات التفاضلية البسيطة المقررة في بكالوريا الجزائر، موجه لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي (جميع الشعب العلمية).

🎯 الأهداف التعليمية

• تعريف المعادلة التفاضلية ودرجتها ورتبتها.
• حل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى: y’ = ay و y’ = ay + b.
• تطبيق الشروط البدئية لإيجاد الحل الخاص.

📚 الشرح التفصيلي

1. تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية (Équation différentielle) هي معادلة تربط بين دالة y(x) ومشتقاتها y’, y”, … والمتغير x. الدرجة (Ordre) هي أعلى رتبة اشتقاق موجودة في المعادلة.

2. المعادلة y’ = ay (النوع الأول)

الحل العام للمعادلة y’ = ay (حيث a عدد حقيقي) هو:
y(x) = C·e^ax حيث C ثابت حقيقي يحدد بالشرط البدئي.

مثال: حل y’ = 2y مع y(0) = 3
→ y(x) = C·e^2x. نعوض: 3 = C·e⁰ = C → y(x) = 3e^2x

3. المعادلة y’ = ay + b (النوع الثاني)

الحل العام للمعادلة y’ = ay + b هو:
y(x) = C·e^ax – b/a (حيث a ≠ 0)

مثال: حل y’ = -3y + 6 مع y(0) = 1
→ الحل العام: y(x) = C·e^-3x + 2
→ بالتعويض: 1 = C + 2 → C = -1
→ y(x) = -e^-3x + 2

4. تطبيقات فيزيائية

قانون نيوتن في التبريد: dT/dt = k(T – T_a) حيث T درجة الحرارة و T_a درجة حرارة الوسط.
اضمحلال النشاط الإشعاعي: dN/dt = -λN حيث N عدد الأنوية و λ ثابت الاضمحلال.

📝 تمارين بكالوريا محلولة

تمرين 1:

قطعة معدنية درجة حرارتها 80°C وضعت في ماء بدرجة 20°C. تتبع قانون التبريد: T'(t) = -0.05(T – 20). أوجد T(t).

الحل:
المعادلة: T’ = -0.05T + 1
الحل العام: T(t) = C·e^-0.05t + 20
بالشرط T(0) = 80 → 80 = C + 20 → C = 60
T(t) = 60·e^-0.05t + 20

🎯 الخلاصة

المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى y’ = ay + b حلها العام يتركب من حل المعادلة المتجانسة y’ = ay (C·e^ax) يضاف إليه حل خاص (ثابت -b/a). الشروط البدئية تحدد الثابت C. المعادلات التفاضلية أداة أساسية في النمذجة الرياضية للظواهر الطبيعية.

📍 دروس مشابهة

• الدوال الأسية (Exponentielles) — الثالثة ثانوي بكالوريا رياضيات
• الدوال اللوغاريتمية — الثالثة ثانوي بكالوريا رياضيات