مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
دراسة الدوال (Étude de Fonctions): المنهجية الكاملة
دراسة الدوال من المواضيع المحورية في بكالوريا رياضيات. كل امتحان تقريباً يحتوي على تمرين دراسة دالة. المنهجية الصارمة ضرورية للحصول على العلامة الكاملة.
1. المنهجية العامة لدراسة دالة
| الخطوة | الشرح | مثال: f(x) = x²/(x-1) |
|---|---|---|
| 1. مجموعة التعريف Df | تحديد المجال الذي تعريف عليه الدالة | Df = ℝ\\{1} |
| 2. النهايات (Limites) | حساب النهايات عند حدود المجال | limx→1⁻ f = -∞, limx→1⁺ f = +∞ |
| 3. المقاربات (Asymptotes) | استنتاج المعادلات من النهايات | x=1 مقارب عمودي |
| 4. الاشتقاق f(x) | حساب المشتقة ودراسة إشارتها | f(x) = (x²-2x)/(x-1)² |
| 5. جدول التغيرات | تلخيص إشارة المشتقة وتغيرات الدالة | جدول يظهر التزايد والتناقص |
| 6. التمثيل البياني (Cf) | رسم المنحنى في معلم مناسب | منحني بفرعين |
2. النهايات الأساسية
- limx→+∞ ln x = +∞; limx→0⁺ ln x = -∞
- limx→+∞ eˣ = +∞; limx→-∞ eˣ = 0
- limx→+∞ eˣ/x = +∞; limx→+∞ ln x/x = 0
- limx→0 sin x/x = 1; limx→0 (eˣ-1)/x = 1
3. جدول المشتقات الأساسية
| f(x) | f(x) | Df |
|---|---|---|
| xⁿ (n∈ℚ) | nxⁿ⁻¹ | ℝ (أو ℝ⁺) |
| ln x | 1/x | ℝ⁺* |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| sin x | cos x | ℝ |
| cos x | -sin x | ℝ |
| tan x | 1/cos²x = 1+tan²x | ℝ\\{π/2+kπ} |
📝 تمرين بكالوريا محلول
التمرين (بكالوريا 2022 علوم تجريبية): ادرس الدالة f(x) = (ln x)/x (الدراسة الكاملة: مجموعة التعريف، النهايات، المشتقة، جدول التغيرات).
الحل النموذجي:
1) مجموعة التعريف: x > 0 → Df = ]0, +∞[
2) النهايات:
limx→0⁺ (ln x)/x = -∞/0⁺ = -∞
limx→+∞ (ln x)/x = 0 (نهاية كلاسيكية)
→ y = 0 مقارب أفقي عند +∞
3) المشتقة:
f(x) = ((1/x)×x – ln x×1)/x² = (1 – ln x)/x²
4) إشارة f:
f(x) > 0 ⇔ 1 – ln x > 0 ⇔ ln x < 1 ⇔ x < e
f(x) < 0 ⇔ x > e
5) جدول التغيرات: f تزايدية على ]0, e] وتناقصية على [e, +∞[
f(e) = (ln e)/e = 1/e (قيمة قصوى)
6) التمثيل البياني: منحنى يمر من (1,0) له فرع يقترب من محور الفواصل عند +∞.
📌 الخلاصة
دراسة الدوال تتطلب اتباع منهجية صارمة: مجموعة تعريف → نهايات → مشتقة → إشارة → جدول تغيرات → تمثيل بياني. احفظ المشتقات الأساسية والنهايات الكلاسيكية.
📍 دروس مشابهة:
الدوال اللوغاريتمية (Logarithmes Népériens) مع تمارين بكالوريا محلولة
الدوال الأسية (Exponentielles) مع تمارين بكالوريا محلولة
