مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الأعداد العقدية (Nombres Complexes)
الأعداد العقدية (أو المركبة) هي امتداد لمجموعة الأعداد الحقيقية ℝ، وتكتب على شكل a+ib حيث a و b عددان حقيقيان و i² = -1. هذا الدرس أساسي في بكالوريا رياضيات (شعبة علوم تجريبية وتقني رياضي).
1. تعريف العدد العقدي
العدد العقدي z يكتب على الشكل الجبري: z = a + ib
حيث:
– a = Re(z) الجزء الحقيقي (Partie réelle)
– b = Im(z) الجزء التخيلي (Partie imaginaire)
– i² = -1 (الوحدة التخيلية)
2. العمليات على الأعداد العقدية
| العملية | z₁ = a+ib, z₂ = c+id |
|---|---|
| الجمع | z₁+z₂ = (a+c) + i(b+d) |
| الطرح | z₁-z₂ = (a-c) + i(b-d) |
| الضرب | z₁×z₂ = (ac-bd) + i(ad+bc) |
| المرافق (Conjugué) | ̄z = a – ib |
| المعيار (Module) | |z| = √(a²+b²) |
| القسمة | z₁/z₂ = z₁×̄z₂ / |z₂|² |
3. الشكل الهندي (Trigonométrique)
كل عدد عقدي يمكن كتابته على الشكل المثلثي:
z = r(cos θ + i sin θ)
حيث r = |z| هو المعيار و θ = Arg(z) هي الحجة (Argument) حيث:
- cos θ = a/r
- sin θ = b/r
- tan θ = b/a (مع مراعاة الربع)
4. صيغة موافر (Moivre) وصيغة أويلر (Euler)
صيغة موافر: (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ)
صيغة أويلر: e^(iθ) = cos θ + i sin θ
📝 تمرين بكالوريا محلول
التمرين (بكالوريا 2020): نعتبر العدد العقدي z = 2 + 2i
(1) احسب معيار z وعمدة له
(2) اكتب z على الشكل المثلثي
(3) احسب z³
الحل النموذجي:
1) |z| = √(2²+2²) = √8 = 2√2
cos θ = 2/(2√2) = 1/√2 = √2/2
sin θ = 2/(2√2) = 1/√2 = √2/2
→ θ = π/4 (2π)
2) z = 2√2(cos π/4 + i sin π/4)
3) z³ = (2√2)³(cos(3π/4) + i sin(3π/4))
= 16√2(cos 3π/4 + i sin 3π/4)
= 16√2(-√2/2 + i√2/2)
= 16√2 × √2/2 × (-1 + i)
= 16 × (-1 + i) = -16 + 16i
أو مباشرة: z³ = (2+2i)³ = … = -16+16i
📌 الخلاصة
الأعداد العقدية أداة رياضية قوية. أتقن الشكل الجبري والمثلثي وعمليات الضرب والقسمة والحساب باستخدام صيغة موافر.
📍 دروس مشابهة:
التكامل (Intégrales): حساب التكامل وطرقه وتطبيقاته مع تمارين بكالوريا محلولة
الدوال الأصلية: تعريفها وطرق حسابها مع تمارين بكالوريا محلولة
