موضوع امتحان بكالوريا 2023 في الرياضيات مع الحل – شعبة علوم تجريبية

التمرين الأول: الأعداد المركبة (04 نقاط)

نعتبر في مجموعة الأعداد المركبة ℂ العدد المركب: Z = (1+i)⁸ / (1-i)⁶

1. اكتب العدد (1+i) على الشكل المثلثي.
2. استنتج العدد (1+i)⁸ على الشكل المثلثي ثم على الشكل الجبري.
3. اكتب العدد (1-i)⁶ على الشكل المثلثي ثم على الشكل الجبري.
4. استنتج كتابة العدد Z على الشكل الجبري ثم على الشكل المثلثي.
5. استنتج قيمة cos(π/2) و sin(π/2).

التمرين الثاني: النهايات والاستمرارية (04 نقاط)

لتكن الدالة f المعرفة على ℝ-{2} بما يلي: f(x) = (x² – 3x + 2) / (x – 2)

1. بين أن f(x) = x – 1 من أجل x ≠ 2.
2. احسب lim f(x) عندما x → 2.
3. هل يمكن تمديد f بالاستمرارية في النقطة 2؟ علل.
4. لتكن الدالة g معرفة على ℝ كما يلي:

   g(x) = (x² – 3x + 2) / (x – 2) إذا كان x ≠ 2

   g(2) = 1

   هل g مستمرة على ℝ؟

5. ادرس قابلية اشتقاق g في النقطة 2.

التمرين الثالث: التكامل (04 نقاط)

احسب التكاملات التالية:

1. I = ∫₀¹ (3x² + 2x + 1) dx
2. J = ∫₁² (1/x²) dx
3. K = ∫₀^{π/2} sin(x) dx
4. L = ∫₀¹ (xe^{x²}) dx

التمرين الرابع: المعادلات التفاضلية (04 نقاط)

نعتبر المعادلة التفاضلية: y” – 3y’ + 2y = 0

1. حل المعادلة التفاضلية.
2. عين الحل الخاص y الذي يحقق: y(0) = 1 و y'(0) = 0.
3. تحقق أن الحل الذي وجدته يمكن كتابته على الشكل: y(x) = (2e^x – e^{2x})

التمرين الخامس: الاحتمالات (04 نقاط)

صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و 4 كرات خضراء و 3 كرات زرقاء. نسحب 3 كرات في آن واحد.

1. ما هو عدد السحبات الممكنة؟
2. احسب احتمال الحصول على 3 كرات من نفس اللون.
3. احسب احتمال الحصول على كرة من كل لون.
4. احسب احتمال الحصول على كرتين حمراوين على الأقل.

حل التمرين الأول: الأعداد المركبة

1. الشكل المثلثي للعدد (1+i):

   |1+i| = √(1²+1²) = √2

   cosθ = 1/√2 = √2/2, sinθ = 1/√2 = √2/2 → θ = π/4

   إذن: 1+i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))

2. (1+i)⁸: = (√2)⁸ (cos(8π/4) + i sin(8π/4)) = 2⁴ (cos(2π) + i sin(2π)) = 16(1+0i) = 16
3. (1-i): |1-i| = √2, θ = -π/4

   (1-i)⁶ = (√2)⁶ (cos(-6π/4) + i sin(-6π/4)) = 2³ (cos(-3π/2) + i sin(-3π/2))

   = 8(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 8(0+i) = 8i

4. Z: Z = 16 / 8i = 2/i = -2i

   Z = 2(cos(-π/2) + i sin(-π/2))

5. cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1

حل التمرين الثاني: النهايات والاستمرارية

1. x² – 3x + 2 = (x-1)(x-2) → f(x) = (x-1)(x-2)/(x-2) = x-1 (من أجل x≠2)
2. lim f(x) عندما x→2 = lim (x-1) = 1
3. نعم يمكن تمديد f بالاستمرارية في 2 لأن النهاية موجودة ومنتهية.
4. g(x) = x-1 لجميع x≠2 و g(2)=1، إذن g(x)=x-1 لجميع x ∈ ℝ، وبالتالي g مستمرة على ℝ لأنها دالة حدودية.
5. g قابلة للاشتقاق على ℝ و g'(x) = 1، وبالتالي g قابلة للاشتقاق في 2 و g'(2)=1.

حل التمرين الثالث: التكامل

1. I = ∫₀¹ (3x²+2x+1)dx = [x³+x²+x]₀¹ = (1+1+1) – (0) = 3
2. J = ∫₁² x⁻²dx = [-x⁻¹]₁² = (-1/2) – (-1/1) = -1/2 + 1 = 1/2
3. K = ∫₀^{π/2} sin(x)dx = [-cos(x)]₀^{π/2} = -cos(π/2) + cos(0) = 0 + 1 = 1
4. L = ∫₀¹ xe^{x²}dx، نضع u=x² → du=2xdx

   = (1/2)∫₀¹ e^{u}du = (1/2)[e^{u}]₀¹ = (1/2)(e¹-e⁰) = (e-1)/2

حل التمرين الرابع: المعادلات التفاضلية

1. المعادلة المميزة: r² – 3r + 2 = 0

   Δ = 9 – 8 = 1، r₁ = (3+1)/2 = 2، r₂ = (3-1)/2 = 1

   الحل العام: y(x) = C₁e^{2x} + C₂e^{x}

2. الشروط: y(0)=C₁+C₂=1؛ y'(0)=2C₁+C₂=0

   بالحل: C₁ = -1، C₂ = 2

   إذن: y(x) = -e^{2x} + 2e^{x} = 2e^x – e^{2x}

3. التحقق: y(0) = 2-1 = 1 ✓؛ y'(x) = 2e^x – 2e^{2x} → y'(0) = 2-2 = 0 ✓

حل التمرين الخامس: الاحتمالات

1. عدد السحبات: C₁₂³ = 12×11×10/(3×2×1) = 220 سحبة
2. 3 كرات من نفس اللون:

   C₅³ + C₄³ + C₃³ = 10 + 4 + 1 = 15

   الاحتمال = 15/220 = 3/44

3. كرة من كل لون:

   C₅¹ × C₄¹ × C₃¹ = 5×4×3 = 60

   الاحتمال = 60/220 = 3/11

4. كرتين حمراوين على الأقل:

   P = P(2 حمراء) + P(3 حمراء)

   P(2 حمراء) = C₅²×C₇¹ / C₁₂³ = (10×7)/220 = 70/220

   P(3 حمراء) = C₅³ / C₁₂³ = 10/220

   P = 80/220 = 4/11

⭐ نصائح للمترشحين

• احفظ جيداً صيغ الأعداد المركبة (التوافيق، الشكل المثلثي، صيغة موافر).
• في التكامل، استعمل التعويض المناسب لكل حالة.
• في الاحتمالات، تذكر قانون التوافيق C(n,p) = n!/(p!(n-p)!).
• في المعادلات التفاضلية، ابدأ بكتابة المعادلة المميزة.
• اقرأ السؤال جيداً قبل الإجابة وراجع الحلول.

📚 مواضيع ذات صلة

• ← موضوع الرياضيات بكالوريا 2024 علوم تجريبية
• ← موضوع الرياضيات بكالوريا 2022 تقني رياضي
• ← موضوع العلوم الفيزيائية بكالوريا 2024