مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تعتبر الزوايا في الدائرة من المفاهيم الهندسية الأساسية في منهاج السنة الرابعة متوسط، وهي من المواضيع المهمة التي ترد في شهادة التعليم المتوسط (BEM). في هذا الدرس، سنتعرف على نوعين مهمين من الزوايا المرتبطة بالدائرة: الزاوية المحيطية والزاوية المركزية، وندرس العلاقة بينهما وخصائصهما مع أمثلة تطبيقية وتمارين محلولة شاملة.
\n\n
◆ هدف الدرس: أن يكون التلميذ قادراً على تمييز الزاوية المحيطية والزاوية المركزية، وحساب قياس إحداهما عند معرفة الأخرى، وتطبيق العلاقات في حل مسائل هندسية متنوعة.
\n
\n\n
◆ الأهداف التعليمية
\n
- \n
- تعريف الزاوية المحيطية في الدائرة وتمييزها
- تعريف الزاوية المركزية في الدائرة وتمييزها
- استنتاج العلاقة بين الزاوية المحيطية والزاوية المركزية اللتين تحصران نفس القوس
- تطبيق العلاقة في حساب الزوايا المجهولة
- استخدام خاصية الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس
- حل مسائل BEM المرتبطة بالزوايا في الدائرة
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n\n
◆ المفهوم 1: الزاوية المركزية في الدائرة
\n\n
الزاوية المركزية هي زاوية رأسها مركز الدائرة، وضلعاها نصفا قطرين في الدائرة.
\n\n
◆ تعريف: الزاوية المركزية هي زاوية رأسها مركز الدائرة O، وضلعاها [OA] و [OB] حيث A و B نقطتان من الدائرة. يرمز لها بالرمز AÔB وتسمى الزاوية المركزية لأن رأسها O هو مركز الدائرة.
\n
\n\n
◆ ملاحظة مهمة: الزاوية المركزية تحصر القوس AB — أي القوس المحصور بين النقطتين A و B على الدائرة. قياس الزاوية المركزية يساوي قياس القوس الذي تحصره (بالدرجات).
\n
\n\n
◆ المفهوم 2: الزاوية المحيطية في الدائرة
\n\n
الزاوية المحيطية هي زاوية رأسها نقطة على الدائرة، وضلعاها وتران في الدائرة.
\n\n
◆ تعريف: الزاوية المحيطية هي زاوية رأسها نقطة على محيط الدائرة، وضلعاها وتران في الدائرة. إذا كانت النقطة A على الدائرة والنقطتان B و C نقطتان أيضاً على الدائرة، فإن الزاوية BAC تسمى زاوية محيطية.
\n
\n\n
تسمى الزاوية المحيطية نسبة إلى القوس الذي تحصره — فهي تحصر القوس BC (المقابل للزاوية).
\n\n
◆ ملاحظة مهمة: يمكن أن تحصر الزوايا المحيطية أقياساً مختلفة حتى عندما تشترك في نفس القوس — وهذا ما ستكشفه العلاقة الآتية!
\n
\n\n
\n\n
◆ العلاقة الأساسية: الزاوية المحيطية والزاوية المركزية
\n\n
◆ النظرية: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس.
\n
\\[\n\\text{الزاوية المحيطية} = \\frac{1}{2} \\times \\text{الزاوية المركزية}\n\\]
\n
\\[\n\\widehat{BAC} = \\frac{1}{2} \\times \\widehat{BOC}\n\\]
\n
حيث أن الزاوية BAC محيطية والزاوية BOC مركزية، وكلاهما يحصران القوس BC.
\n
\n\n
◆ خاصية هامة: جميع الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس لها نفس القياس.
\n
\\[\n\\widehat{BAC} = \\widehat{BDC} = \\widehat{BEC}\n\\]
\n
إذا كانت النقاط A, D, E جميعها على الدائرة وكانت الزوايا BAC, BDC, BEC تحصر نفس القوس BC.
\n
\n\n
\n\n
◆ حالات خاصة
\n\n
◆ حالة 1 — الزاوية المحيطية التي تحصر قوساً هو قطر الدائرة:
\n
إذا كانت الزاوية المحيطية تحصر قطر الدائرة، فإن قياسها = 90° (زاوية قائمة).
\n
هذه الخاصية تعطينا طريقة جديدة لإنشاء زاوية قائمة باستخدام الدائرة.
\n
\n\n
◆ حالة 2 — الزاوية المحيطية والزاوية المركزية:
\n
إذا كانت الزاوية المركزية = 180° (زاوية مستقيمة)، فإن الزاوية المحيطية = 90°.
\n
وهذا يؤكد الحالة الأولى: فالقوس الذي قياسه 180° هو نصف دائرة، أي قطر.
\n
\n\n
\n\n
◆ أمثلة محلولة
\n\n
◆ المثال 1: حساب زاوية محيطية بمعلومية الزاوية المركزية
\n
في دائرة مركزها O، لدينا زاوية مركزية AOB = 120°. احسب قياس الزاوية المحيطية ACB التي تحصر نفس القوس AB.
\n
الحل:
\n
نعلم أن الزاوية المحيطية = نصف الزاوية المركزية التي تحصر نفس القوس.
\n
\\[\n\\widehat{ACB} = \\frac{1}{2} \\times \\widehat{AOB} = \\frac{1}{2} \\times 120° = 60°\n\\]
\n
إذن: قياس الزاوية المحيطية ACB = 60°.
\n\n
◆ المثال 2: حساب زاوية مركزية بمعلومية الزاوية المحيطية
\n
إذا علمت أن الزاوية المحيطية ABC = 35° في دائرة مركزها O، احسب قياس الزاوية المركزية AOC.
\n
الحل:
\n
الزاوية المركزية = 2 × الزاوية المحيطية (نظراً لأنها تحصر نفس القوس).
\n
\\[\n\\widehat{AOC} = 2 \\times \\widehat{ABC} = 2 \\times 35° = 70°\n\\]
\n
إذن: قياس الزاوية المركزية AOC = 70°.
\n\n
◆ المثال 3: تطبيق خاصية الزوايا المحيطية المشتركة في القوس
\n
في دائرة، لدينا ثلاث زوايا محيطية: BAC, BDC, BEC تحصر جميعها القوس BC. إذا علمت أن BAC = 45°، فما قياس BDC و BEC؟
\n
الحل:
\n
بما أن جميع الزوايا المحيطية التي تحصر نفس القوس متساوية في القياس:
\n
\\[\n\\widehat{BDC} = \\widehat{BEC} = \\widehat{BAC} = 45°\n\\]
\n
إذن: قياس كل من BDC و BEC = 45°.
\n\n
◆ المثال 4: تطبيق على حالة القطر
\n
ABC مثلث قائم في C. أرسم دائرة مركزها M منتصف الوتر AB. ماذا تلاحظ؟
\n
الحل:
\n
بما أن M منتصف AB، فإن MA = MB = MC (لأن C تقع على الدائرة التي قطرها AB — خاصية المثلث القائم والدائرة المحيطة به).
\n
الزاوية ACB هي زاوية محيطية تحصر القوس AB وهو قطر الدائرة.
\n
\\[\n\\widehat{ACB} = \\frac{1}{2} \\times 180° = 90°\n\\]
\n
وهذا يثبت أن الزاوية المحيطية التي تحصر قطر الدائرة هي زاوية قائمة.
\n\n
\n\n
◆ تمارين تطبيقية
\n
- \n
- دائرة مركزها O، الزاوية المركزية AOB = 150°. احسب قياس الزاوية المحيطية ACB التي تحصر القوس AB.
- في دائرة، الزاوية المحيطية BAC = 25°. احسب قياس الزاوية المركزية BOC.
- أربع زوايا محيطية (A₁, A₂, A₃, A₄) تحصر نفس القوس BC. إذا كانت A₁ = 30°، فما قياس الزوايا الأخرى؟
- في دائرة، الزاوية المركزية AOB = 90°. ما قياس الزاوية المحيطية التي تحصر القوس AB؟
- ABCD رباعي دائري (رؤوسه تقع على دائرة). إذا كانت AĈB = 40°، و AÔB زاوية مركزية تحصر القوس AB، فاحسب AÔB.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ حلول التمارين
\n
- \n
- الحل: الزاوية المحيطية = ½ × 150° = 75°.
- الحل: الزاوية المركزية = 2 × 25° = 50°.
- الحل: جميع الزوايا متساوية = 30° (خاصية الزوايا المحيطية المحصرة لنفس القوس).
- الحل: الزاوية المحيطية = ½ × 90° = 45°.
- الحل: بما أن AĈB زاوية محيطية و AÔB زاوية مركزية تحصران نفس القوس AB، فإن: AÔB = 2 × AĈB = 2 × 40° = 80°.
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
\n\n
◆ نشاط منزلي
\n
ارسم دائرة مركزها O ونصف قطرها 4 cm. اختر ثلاث نقاط A, B, C على الدائرة بحيث:
\n
- \n
- الزاوية المركزية AOB = 100°
- ارسم الزاوية المحيطية ACB
- احسب قياس ACB (نظرياً)
- قس ACB بالمنقلة وتحقق أن النتيجة تتطابق مع الحساب النظري
\n
\n
\n
\n
\n
كرر النشاط باختيار زوايا مركزية مختلفة (60°, 120°, 160°) وسجل نتائجك في جدول.
\n\n
◆ جدول ملخص القوانين
\n
| المفهوم | القاعدة | الصيغة |
|---|---|---|
| الزاوية المحيطية والمركزية | المحيطية = نصف المركزية لنفس القوس | ACB = ½ × AOB |
| المركزية من المحيطية | المركزية = ضعف المحيطية | AOB = 2 × ACB |
| محوطيات نفس القوس | جميع الزوايا المحيطية لنفس القوس متساوية | BÂC = BDC = BÊC |
| زاوية محيطية تحصر قطراً | قياسها 90° (زاوية قائمة) | = 90° |
\n\n
◆ نصائح للتلميذ — للنجاح في BEM
\n
- \n
- ☑ تحديد القوس: أول خطوة في أي مسألة هي تحديد القوس الذي تحصره كل زاوية — فهذا هو مفتاح الحل.
- ☑ رسم الشكل: ارسم شكلاً تقريبياً لكل مسألة — الرسم يساعدك على تصور العلاقات.
- ☑ التمييز: انتبه إلى رأس الزاوية — إذا كان الرأس هو مركز الدائرة ⟹ زاوية مركزية. إذا كان الرأس على محيط الدائرة ⟹ زاوية محيطية.
- ☑ لا تخلط: العلاقة (المحيطية = ½ المركزية) تنطبق فقط عندما تحصران نفس القوس.
- ☑ التدرب: حل 5-10 تمارين متنوعة قبل الامتحان — ابحث في مواضيع BEM السابقة عن تمارين الزوايا في الدائرة.
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n\n
◆ تذكير BEM: في امتحان شهادة التعليم المتوسط، غالباً ما ترد مسائل تجمع بين نظرية فيثاغورس ونظرية طاليس والزوايا في الدائرة في تمرين واحد. تأكد من إتقان جميع هذه المفاهيم!
\n
◆ دروس مشابهة
- ◆ الهرم ومخروط الدوران — حساب المساحات والحجوم — الرياضيات 4AM
- ◆ الإزاحة (الانسحاب) في المستوى — مفهومها وتمثيلها — الرياضيات 4AM
- ◆ مقاييس التشتت — المدى والتباين والانحراف المعياري — الرياضيات 4AM
- ◆ النشر والتحليل — المتطابقات الشهيرة والأساليب — الرياضيات 4AM
