الدوال اللوغاريتمية: تعريفها، خصائصها وتمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا)

الأهداف التعليمية

• تعريف الدالة اللوغاريتمية النيبيرية (ln)
• حساب المشتقات والنهايات للدوال اللوغاريتمية
• تمثيل الدوال اللوغاريتمية بيانياً
• حل تمارين بكالوريا في الدوال اللوغاريتمية

تعريف الدالة اللوغاريتمية النيبيرية

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية هي الدالة المعرفة على المجال ]0, +∞[ كما يلي: f(x) = ln(x). وهي الدالة العكسية للدالة الأسية: ln(eˣ) = x و e^(ln x) = x لكل x > 0.

خصائص الدالة اللوغاريتمية

• المجال: D_f = ]0, +∞[
• الإشتقاق: (ln x)’ = 1/x لكل x > 0
• رتابة الدالة: ln x تزايدية قطعاً على ]0, +∞[
• النهايات: lim(x→0⁺) ln x = -∞, lim(x→+∞) ln x = +∞
• الخاصيات الجبرية:
  ln(a×b) = ln a + ln b
  ln(a/b) = ln a – ln b
  ln(aⁿ) = n × ln a
  ln(1/a) = -ln a

تمرين بكالوريا محلول

التمرين: ادرس تغيرات الدالة f(x) = x² – 2ln x على المجال ]0, +∞[.

الحل:

1) حساب المشتقة: f'(x) = 2x – 2×(1/x) = 2x – 2/x = (2x² – 2)/x = 2(x²-1)/x

2) إشارة المشتقة: f'(x) = 0 ⇔ x² – 1 = 0 ⇔ x = 1 (لأن x > 0)
f'(x) < 0 على ]0, 1[ ← f متناقصة
f'(x) > 0 على ]1, +∞[ ← f متزايدة

3) القيمة الحدية: f(1) = 1² – 2ln(1) = 1 – 0 = 1 وهي قيمة حدية صغرى.

4) النهايات: lim(x→0⁺) x² – 2ln x = 0 – (-∞) = +∞
lim(x→+∞) x² – 2ln x = +∞ – (+∞) = +∞

خلاصة

الدوال اللوغاريتمية من الدروس الأساسية في بكالوريا شعبة العلوم التجريبية والرياضيات.

📍 دروس مشابهة

• التكامل: حساب المساحات والحجوم – الثالثة ثانوي (بكالوريا) رياضيات
• الدوال الأسية: تعريفها، خصائصها وتمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي