النشر والتحليل — المتطابقات الشهيرة والأساليب — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

النشر والتحليل من أهم المهارات في الجبر. النشر يعني تحويل جداء إلى مجموع، والتحليل هو عكس ذلك — تحويل مجموع إلى جداء. هذه المهارات أساسية لحل المعادلات والمتراجحات وتبسيط العبارات الجبرية.

الأهداف التعليمية

• أن يتقن التلميذ نشر عبارات جبرية باستعمال خاصية التوزيع
• أن يحفظ ويطبق المتطابقات الشهيرة الثلاث
• أن يتمكن من تحليل عبارات جبرية بإخراج العامل المشترك
• أن يستخدم المتطابقات الشهيرة في التحليل

الشرح المبسط — أولاً: النشر

النشر هو كتابة جداء على شكل مجموع. نستخدم خاصية توزيع الضرب على الجمع.

مثال بسيط: 3(x + 5) = 3x + 15

المتطابقات الشهيرة الثلاث

المتطابقة 1: مربع مجموع

(a + b)² = a² + 2ab + b²

المتطابقة 2: مربع فرق

(a – b)² = a² – 2ab + b²

المتطابقة 3: فرق مربعين

(a – b)(a + b) = a² – b²

المثال 1: نشر باستخدام المتطابقات الشهيرة

انشر: أ) (x + 3)² ب) (2x – 1)² ج) (x + 2)(x – 2)

الحل:

أ) (x + 3)² = x² + 2(x)(3) + 3² = x² + 6x + 9

ب) (2x – 1)² = (2x)² – 2(2x)(1) + 1² = 4x² – 4x + 1

ج) (x + 2)(x – 2) = x² – 2² = x² – 4

المثال 2: نشر جداء قوسين

انشر: (x + 2)(x + 5)

الحل:

(x + 2)(x + 5) = x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10

ثانياً: التحليل إلى عوامل

التحليل هو كتابة مقدار جبري على شكل جداء عوامل أولية.

الطريقة الأولى: إخراج العامل المشترك

القاعدة: a × b + a × c = a × (b + c)

المثال 3: حلل: 3x + 12

الحل: العامل المشترك هو 3: 3x + 12 = 3(x + 4)

المثال 4: حلل: 5x² – 15x

الحل: العامل المشترك هو 5x: 5x² – 15x = 5x(x – 3)

الطريقة الثانية: التحليل باستخدام المتطابقات الشهيرة

المثال 5: فرق مربعين

حلل: x² – 9

الحل: نلاحظ أن 9 = 3²، إذن x² – 9 = (x – 3)(x + 3)

المثال 6: مربع كامل

حلل: x² + 6x + 9

الحل: نلاحظ أن 9 = 3² و 6x = 2(x)(3)، إذن x² + 6x + 9 = (x + 3)²

المثال 7: التحليل بإخراج العامل المشترك أولاً

حلل: 2x² – 8

الحل: أولاً: 2x² – 8 = 2(x² – 4) ثم x² – 4 = (x – 2)(x + 2)

إذن: 2x² – 8 = 2(x – 2)(x + 2)

تمارين تطبيقية

1. انشر باستعمال المتطابقات الشهيرة: أ) (x + 7)² ب) (3x – 2)² ج) (2x + 1)(2x – 1)
2. حلل بإخراج العامل المشترك: أ) 4x + 20 ب) 6x² – 12x ج) 3x²y – 6xy²
3. حلل باستعمال المتطابقات الشهيرة: أ) x² – 25 ب) x² + 8x + 16 ج) 9x² – 4
4. حلل: أ) 3x² – 27 ب) 4x² – 20x + 25 ج) (x + 1)² – 9
5. حل المعادلة بعد النشر أو التحليل: (x – 2)(x + 3) = 0

نشاط منزلي

اكتب ثلاث عبارات جبرية من نوع مختلف: الأولى للنشر (باستخدام متطابقة شهيرة)، والثانية للتحليل بإخراج العامل المشترك، والثالثة للتحليل بفرق مربعين. ثم اشرح خطوات كل منها.

---

📍 دروس مشابهة

• المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• الدوال التآلفية — تمثيلها وخصائصها — الرياضيات — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري
• النسب المثلثية: الجيب وجيب التمام والظل — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري