الدوال الخطية — مفهومها وتمثيلها البياني — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الدوال الخطية هي أحد أهم المفاهيم في الرياضيات لأنها تصف العلاقات التناسبية بين الكميات. تظهر في مجالات عديدة: المسافة والزمن، السعر والكمية، وتحويل العملات.

الأهداف التعليمية

• أن يتعرف التلميذ على مفهوم الدالة الخطية وصيغتها العامة
• أن يتمكن من تمثيل دالة خطية بيانياً
• أن يحسب صورة عدد بدالة خطية والعكس
• أن يميز بين الدالة الخطية والدالة التآلفية
• أن يطبق الدوال الخطية في مسائل تناسبية

الشرح المبسط — مفهوم الدالة الخطية

الدالة الخطية هي علاقة تربط بين عددين بحيث: y = ax أو f(x) = ax، حيث a هو معامل الدالة (معامل التناسبية).

كل دالة خطية تمثل تناسبية: إذا تضاعفت x، تتضاعف f(x) بنفس النسبة.

مثال: f(x) = 3x — إذا كان x = 2 فإن f(2) = 6، وإذا كان x = 5 فإن f(5) = 15.

أولاً: صورة عدد بدالة خطية

لحساب صورة عدد بدالة خطية f(x) = ax، نعوض x بهذا العدد.

المثال 1: لتكن f دالة خطية معاملها 4. أحسب صور الأعداد 3، -2، 0.5

الحل: الدالة هي f(x) = 4x

f(3) = 4 × 3 = 12

f(-2) = 4 × (-2) = -8

f(0.5) = 4 × 0.5 = 2

ثانياً: إيجاد الدالة الخطية من صورتها

لإيجاد معامل الدالة الخطية إذا علمنا أن f(b) = c، نحل المعادلة: a × b = c

المثال 2: لتكن f دالة خطية حيث f(5) = 20. أحسب معاملها.

الحل: f(5) = a × 5 = 20، إذن a = 20 ÷ 5 = 4، والدالة هي f(x) = 4x

ثالثاً: التمثيل البياني لدالة خطية

التمثيل البياني لدالة خطية هو مستقيم يمر من أصل المعلم (نقطة المبدأ: 0,0). يكفي تحديد نقطة أخرى ثم رسم المستقيم.

المثال 3: مثل الدالة f(x) = 2x بيانياً.

الحل:

النقطة الأولى: (0, 0) — أصل المعلم

النقطة الثانية: نختار x = 3، فنجد f(3) = 2 × 3 = 6، إذن النقطة (3, 6)

نرسم مستقيماً يمر بالنقطتين (0,0) و (3,6)

المثال 4: مثل الدالة g(x) = -x بيانياً.

الحل:

النقطة الأولى: (0, 0)

النقطة الثانية: نختار x = 2، g(2) = -2، النقطة (2, -2)

نرسم مستقيماً يمر بالنقطتين (0,0) و (2, -2)

رابعاً: الدالة الخطية والتناسبية

إذا كان y = f(x) = ax، فإن النسبة y/x = a ثابتة. هذا يعني أن y تتناسب طرداً مع x بمعامل تناسب a.

المثال 5: ثمن البطاطس 45 دج للكيلوغرام الواحد. عبر عن الثمن بدلالة الكتلة بدالة خطية. ما ثمن 3.5 كجم؟

الحل:

f(x) = 45x حيث x الكتلة بالكيلوغرام وf(x) الثمن بالدينار

f(3.5) = 45 × 3.5 = 157.5 دج

تمارين تطبيقية

1. لتكن f دالة خطية حيث f(3) = -12. أحسب معاملها ثم أعط العبارة f(x).
2. مثل الدوال التالية بيانياً في نفس المعلم: f(x) = 3x، g(x) = -2x، h(x) = (1/2)x
3. دالة خطية f حيث f(-2) = 8. أحسب f(5).
4. سيارة تسير بسرعة ثابتة 80 km/h. عبر عن المسافة المقطوعة بدلالة الزمن بدالة خطية. كم المسافة بعد 3 ساعات و15 دقيقة؟
5. هل العبارات التالية تمثل دوال خطية؟ أ) y = 2x + 1 ب) y = -3x ج) y = x²

نشاط منزلي

اختر ثلاثة أسعار لوحدة واحدة (مثل سعر اللتر من الحليب، سعر الخبزة، سعر الدقيقة هاتفياً). لكل حالة، اكتب الدالة الخطية التي تربط الثمن بالكمية. ارسم التمثيل البياني لكل دالة في معلم منفصل.

---

📍 دروس مشابهة

• الاحتمالات — مفهومها وقوانينها الأساسية — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري
• الإحصاء — جمع البيانات وتمثيلها بالرسوم البيانية — الرياضيات — الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري
• القاسم المشترك الأكبر PGCD والمضاعف المشترك الأصغر PPCM — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري