الرياضيات — التكامل بالتجزئة: طريقة وتطبيقات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

التكامل بالتجزئة: طريقة وتطبيقات

المستوى: الثالثة ثانوي (شعب علمية)

1. قاعدة التكامل بالتجزئة

∫ u·dv = u·v – ∫ v·du. هذه الطريقة مفيدة لتكامل جداء دالتين.

2. أمثلة

مثال 1: ∫ x·eˣ dx. نضع u=x, dv=eˣdx → du=dx, v=eˣ. ∫ x·eˣ dx = x·eˣ – ∫ eˣ dx = x·eˣ – eˣ + C

مثال 2: ∫ ln(x) dx. نضع u=ln(x), dv=dx → du=dx/x, v=x. ∫ ln(x)dx = x·ln(x) – ∫ dx = x·ln(x) – x + C

3. تكرار التكامل بالتجزئة

بعض التكاملات تحتاج تطبيق القاعدة مرتين أو أكثر: ∫ x²·eˣ dx

تمارين

التمرين 1: احسب ∫ x·sin(x) dx

التمرين 2: احسب ∫ x·ln(x) dx

الحلول:

حل 1: u=x, dv=sin(x)dx. ∫ x·sin(x)dx = -x·cos(x) + ∫ cos(x)dx = -x·cos(x)+sin(x)+C

حل 2: ∫ x·ln(x)dx = (x²/2)·ln(x) – ∫ (x²/2)·(1/x)dx = (x²/2)·ln(x) – x²/4 + C

للمزيد: راجع درس التكامل ودرس الاشتقاق.