الإزاحة (الانسحاب) في المستوى — العلاقة بين الإزاحة والمتجهات وخصائصها مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

الإزاحة (الانسحاب) في المستوى

الإزاحة هي أحد التحويلات الهندسية الأساسية التي تتيح لنا نقل الأشكال في المستوى وفق اتجاه ومسافة محددين. في هذا الدرس نتعمق في مفهوم الإزاحة وخصائصها وعلاقتها بالمتجهات مع تمارين تطبيقية.

1. تذكير بمفهوم الإزاحة

الإزاحة (الانسحاب) هي تحويل هندسي ينقل كل نقطة من الشكل الأصلي إلى نقطة أخرى بحيث تبقى المسافات والزوايا محفوظة. للإزاحة ثلاث خصائص مميزة:

• اتجاه: الجهة التي تنتقل إليها النقاط
• مسافة: البعد بين النقطة الأصلية وصورتها
• حفظ الخصائص: الأطوال، الزوايا، المساحات، التوازي

2. الإزاحة والمتجهات

يمكن تمثيل الإزاحة بواسطة متجهة. المتجهة ABَ (نكتبها →AB) تحدد إزاحة تحوِّل النقطة A إلى النقطة B.

• إذا كانت إزاحة تحوِّل A إلى Aَ، نعبر عنها بالمتجهة →AAَ
• الإزاحة التي يرمز لها بالمتجهة →u تنقل كل نقطة M إلى Mَ بحيث MMَ = u
• المتجهات المتساوية في الاتجاه والطول تمثل نفس الإزاحة

3. خواص الإزاحة بالتفصيل

الخاصية	المعنى	مثال
حفظ المسافة	AB = AَBَ	قطعة طولها 5 سم تبقى 5 سم
حفظ الزاوية	قياس ∠ABC = قياس ∠AَBَCَ	زاوية 90° تبقى 90°
حفظ التوازي	إذا كان AB // CD فإن AَBَ // CَDَ	خطان متوازيان يبقيان متوازيين
حفظ الاستقامة	النقط على استقامة واحدة تبقى على استقامة واحدة	ثلاث نقاط في خط واحد تبقى في خط واحد
حفظ المساحة	مساحة الشكل الأصلي = مساحة الشكل الناتج	مربع مساحته 9 سم² يبقى 9 سم²

4. إنشاء صورة شكل بالإزاحة

مثال: أنشئ صورة المربع ABCD (طول ضلعه 3 cm) بالإزاحة التي تحوِّل A إلى Aَ (5 cm نحو اليمين و 2 cm نحو الأعلى).

خطوات الحل:

1. نحدد متجهة الإزاحة AAَ (5 cm أفقياً نحو اليمين + 2 cm عمودياً نحو الأعلى)
2. من B نرسم مستقيماً موازياً لـ AAَ
3. ننقل المتجهة AAَ على هذا المستقيم فنحصل على Bَ
4. نكرر مع C و D فنحصل على Cَ و Dَ
5. المربع AَBَCَDَ هو صورة المربع ABCD بالإزاحة

5. تمارين محلولة

التمرين 1: في المستوى، لدينا النقط A(1,2), B(4,2), C(3,5). أنشئ صورة المثلث ABC بالإزاحة التي متجهتها u=(3, -1).

الحل:

• صورة A: Aَ = (1+3, 2-1) = (4, 1)
• صورة B: Bَ = (4+3, 2-1) = (7, 1)
• صورة C: Cَ = (3+3, 5-1) = (6, 4)
• المثلث AَBَCَ هو صورة المثلث ABC بالإزاحة

التمرين 2: إذا كانت إزاحة تحوِّل النقطة D(-2, 3) إلى النقطة Dَ(1, 5)، فما هي متجهة هذه الإزاحة؟

الحل: متجهة الإزاحة = (1-(-2), 5-3) = (3, 2)

خلاصة

• الإزاحة تحافظ على جميع الخصائص الهندسية للشكل
• يمكن تمثيل الإزاحة بمتجهة تحدد الاتجاه والمسافة
• لإيجاد صورة نقطة بإزاحة معطاة بمتجهة، نضيف إحداثيات المتجهة إلى إحداثيات النقطة
• صورة الشكل بالإزاحة هو شكل مطابق تماماً للشكل الأصلي

دروس مشابهة

• التحاكي (التكبير والتصغير) في المستوى
• المثلثات — نظرية فيثاغورس
• النشر والتحليل باستعمال المتطابقات الشهيرة