الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية (Fonctions Logarithmes): تعريفها وخصائصها ودراستها مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الدوال اللوغاريتمية (Fonctions Logarithmes): تعريفها وخصائصها ودراستها

الأهداف التعليمية:

• تعريف الدالة اللوغاريتمية (ln و log)
• إتقان خصائص and قواعد اللوغاريتمات
• دراسة تغيرات الدالة اللوغاريتمية ورسمها البياني
• حل معادلات ومتراجحات لوغاريتمية
• تطبيقات اللوغاريتمات في مختلف المجالات

1. تعريف الدالة اللوغاريتمية:

الدالة اللوغاريتمية النيبيرية (Logarithme Népérien) هي الدالة العكسية للدالة الأسية. نكتب: y = ln(x) إذا وفقط إذا كان x = e^y، حيث x > 0.

الدالة اللوغاريتمية العشرية: log(x) حيث الأساس 10 (log(x) = ln(x)/ln(10)).

2. خصائص اللوغاريتمات:

لأي a, b > 0 و r ∈ ℝ:

• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
• ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
• ln(a / b) = ln(a) – ln(b)
• ln(a^r) = r × ln(a)
• ln(1/a) = -ln(a)
• ln(√a) = (1/2) × ln(a)

3. المجال والتعريف:

الدالة ln(x) معرفة على المجال ]0, +∞[. غير معرفة عند x ≤ 0.

4. النهايات الأساسية:

• lim_{x→0+} ln(x) = -∞
• lim_{x→+∞} ln(x) = +∞
• lim_{x→0+} x × ln(x) = 0
• lim_{x→+∞} ln(x)/x = 0
• lim_{x→0} ln(1+x)/x = 1

5. المشتقة:

مشتقة الدالة ln(x) هي: (ln(x))’ = 1/x للمجال x > 0.

إذا كانت u(x) دالة قابلة للاشتقاق و u(x) > 0، فإن: (ln(u(x)))’ = u'(x) / u(x).

6. اتجاه التغير والرسم البياني:

• الدالة ln(x) متزايدة تماماً على ]0, +∞[ لأن مشتقتها 1/x > 0
• المنحنى البياني للدالة ln(x) يقطع محور الفواصل في النقطة (1, 0)
• المنحنى مقعر نحو الأسفل (Concave)
• المماس عند النقطة (1,0) معادلته: y = x – 1
• المماس عند النقطة (e, 1) معادلته: y = x/e

7. إشارة الدالة:

• ln(x) < 0 عندما 0 < x < 1
• ln(x) = 0 عندما x = 1
• ln(x) > 0 عندما x > 1

8. تطبيقات اللوغاريتمات:

• حل المعادلات الأسية: a^x = b → x = ln(b)/ln(a)
• النمو الأسي والسكاني: N(t) = N₀ × e^(kt)
• مقياس ريختر للزلازل: M = log(I/I₀)
• مقياس الأس الهيدروجيني (pH): pH = -log[H⁺]
• الفائدة المركبة: A = P × e^(rt)

تمارين محلولة

التمرين 1:

السؤال: بسط العبارات التالية باستخدام خصائص اللوغاريتمات:

A = ln(2) + ln(5)
B = ln(12) – ln(3)
C = 2ln(3) + ln(4) – ln(9)

الإجابة النموذجية:

A = ln(2) + ln(5) = ln(2 × 5) = ln(10)

B = ln(12) – ln(3) = ln(12/3) = ln(4)

C = 2ln(3) + ln(4) – ln(9) = ln(3²) + ln(4) – ln(9) = ln(9) + ln(4) – ln(9) = ln(4)

التمرين 2:

السؤال: حل المعادلات التالية:

a) ln(x) = 3
b) ln(x² – 1) = 0
c) ln(x + 2) + ln(x – 1) = ln(10)

الإجابة النموذجية:

a) ln(x) = 3 → x = e³

b) ln(x² – 1) = 0 → x² – 1 = 1 → x² = 2 → x = √2 أو x = -√2
الشرط: x² – 1 > 0 → x < -1 أو x > 1
إذن الحلول: x = √2 (x = -√2 مرفوض لأن -√2 < -1 ✓ … انتظر -√2 < -1 صحيح لكن x = -√2 لا يحقق x²-1>0؟ لنتأكد: (-√2)²-1 = 2-1=1>0 صحيح، إذا x = -√2 مقبول و x = √2 مقبول)

c) ln(x + 2) + ln(x – 1) = ln(10)
الشرط: x + 2 > 0 و x – 1 > 0 → x > 1
ln((x+2)(x-1)) = ln(10) → (x+2)(x-1) = 10
x² + x – 2 = 10 → x² + x – 12 = 0
(x + 4)(x – 3) = 0 → x = -4 (مرفوض لأن x > 1) أو x = 3 (مقبول)
إذن الحل الوحيد: x = 3

التمرين 3 (نمط بكالوريا):

السؤال: ادرس تغيرات الدالة f(x) = ln(x² + 1) ثم أرسم منحناها البياني.

الإجابة النموذجية:

المجال: ℝ لأن x² + 1 > 0 ∀x ∈ ℝ

المشتقة: f'(x) = 2x / (x² + 1)

إشارة المشتقة:
f'(x) = 0 → x = 0
f'(x) > 0 → x > 0 (الدالة متزايدة)
f'(x) < 0 → x < 0 (الدالة متناقصة)

جدول التغيرات:

x    | -∞      0       +∞
f'(x)|    -    0     +
f(x) |  +∞  ↘  ln(1)=0  ↗  +∞

النهايات:
lim_{x→±∞} ln(x²+1) = +∞

الدالة زوجية لأن f(-x) = ln((-x)²+1) = ln(x²+1) = f(x)، والمنحنى البياني متماثل بالنسبة لمحور التراتيب.

---

دروس مشابهة:

• الاشتقاق (Dérivation): تعريف المشتقة واشتقاق الدوال الأساسية
• الدوال الأسية (Exponentielles): تعريف، خصائص، دراسة دالة