مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الدائرة والمثلث القائم — نظرية طالس في الدائرة
أهداف الدرس
- اكتشاف العلاقة بين المثلث القائم والدائرة
- تطبيق نظرية طالس في الدائرة (زاوية قائمة في نصف دائرة)
- استخدام الخاصية في حل المسائل الهندسية
أولاً: نظرية طالس في الدائرة
النظرية: إذا كان مثلث ABC محاطاً بدائرة قطرها [BC]، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في A.
العكس: إذا كان المثلث ABC قائم الزاوية في A، فإن [BC] هو قطر الدائرة المحيطة بالمثلث.
بمعنى آخر: الزاوية المحيطية التي تتركز على قطر الدائرة هي زاوية قائمة.
ثانياً: البرهان الهندسي
المعطيات: دائرة مركزها O نصف قطرها R، وقطرها [BC]. النقطة A تقع على الدائرة.
المطلوب: إثبات أن المثلث ABC قائم في A.
البرهان:
- OA = OB = OC = R (لأنها أنصاف أقطار)
- إذن O منتصف [BC] و OA = OB = OC
- المثلث OAB متساوي الساقين → ∠OAB = ∠OBA
- المثلث OAC متساوي الساقين → ∠OAC = ∠OCA
- ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC
- مجموع زوايا المثلث ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
- أي: ∠OBA + (∠OAB + ∠OAC) + ∠OCA = 180°
- ∠OBA + (∠OAB + ∠OAC) + ∠OCA = 2(∠OAB + ∠OAC) = 2 × ∠BAC = 180°
- إذن ∠BAC = 90°
ثالثاً: تطبيقات النظرية
تطبيق 1: تحديد مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم
في المثلث القائم ABC (قائم في A)، مركز الدائرة المحيطة هو منتصف الوتر [BC].
تطبيق 2: التعرف على المثلث القائم
إذا كان لدينا دائرة وقطر فيها، واخترنا أي نقطة على الدائرة (غير طرفي القطر)، فإن المثلث المتكون يكون قائماً.
تطبيق 3: إنشاء مثلث قائم
لإنشاء مثلث قائم على قطعة مستقيمة [BC] كوتر، نرسم دائرة قطرها [BC] ونختار أي نقطة A عليها.
مثال محلول
دائرة قطرها [BC] طوله 10 cm. النقطة A على الدائرة، والمسافة AB = 6 cm.
المطلوب: حساب AC.
الحل:
- بما أن [BC] قطر الدائرة و A نقطة عليها، فإن المثلث ABC قائم في A (نظرية طالس).
- بتطبيق نظرية فيثاغورس: AB² + AC² = BC²
- AC² = BC² – AB² = 10² – 6² = 100 – 36 = 64
- AC = √64 = 8 cm
تمارين تطبيقية
- دائرة قطرها [AB] طوله 8 cm، النقطة C على الدائرة، AC = 5 cm. أحسب BC.
- مثلث ABC قائم في A، AB = 3 cm، AC = 4 cm. أحسب نصف قطر الدائرة المحيطة به.
- ارسم دائرة قطرها 6 cm وخذ نقطة على الدائرة. كون مثلثاً قائماً واحسب أطوال أضلاعه.
الخلاصة
نظرية طالس في الدائرة تربط بين المثلث القائم والدائرة: المثلث المحاط بدائرة قطرها أحد أضلاعه يكون قائماً. هذه الخاصية أساسية في الهندسة وتستخدم لحل مسائل متنوعة في البناء والتصميم والملاحة.
