نظام معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين — الحل بالتعويض والحل بالجمع والحل البياني — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

نظام معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين

أهداف الدرس

• أن يتعرف المتعلم على مفهوم نظام معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين.
• أن يحل نظام معادلتين بطريقة التعويض.
• أن يحل نظام معادلتين بطريقة الجمع (الحذف).
• أن يحل نظام معادلتين بيانياً.
• أن يوظف أنظمة المعادلات في حل مسائل حياتية.

مفهوم نظام معادلتين

نظام معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين x و y هو مجموعة من معادلتين تكتبان على الشكل:

(S): { a₁x + b₁y = c₁ , a₂x + b₂y = c₂ }

حل النظام هو زوج مرتب (x, y) يحقق المعادلتين معاً في نفس الوقت.

الطريقة الأولى: حل نظام بطريقة التعويض

الخطوات:

1. نعزل أحد المجهولين (x أو y) من إحدى المعادلتين.
2. نعوض به في المعادلة الأخرى.
3. نحل المعادلة الناتجة (ذات مجهول واحد).
4. نحسب قيمة المجهول الآخر بالتعويض.

مثال: حل النظام: { x + y = 7 , 2x − y = 5 }

الحل بطريقة التعويض:

• من المعادلة الأولى: x = 7 − y
• نعوض في الثانية: 2(7 − y) − y = 5
• 14 − 2y − y = 5 → 14 − 3y = 5
• −3y = −9 → y = 3
• x = 7 − 3 = 4

حل النظام هو (4, 3).

الطريقة الثانية: حل نظام بطريقة الجمع (الحذف)

الخطوات:

1. نضرب كل معادلة في عدد مناسب لجعل معاملات أحد المجهولين متعاكستين (أو متساويتين).
2. نجمع المعادلتين (أو نطرحهما) لحذف ذلك المجهول.
3. نحل المعادلة الناتجة.
4. نحسب المجهول الآخر بالتعويض.

مثال: حل النظام: { 3x + 2y = 12 , x − 2y = 4 }

الحل بطريقة الجمع:

• نجمع المعادلتين: (3x + 2y) + (x − 2y) = 12 + 4
• 4x = 16 → x = 4
• نعوض في المعادلة الثانية: 4 − 2y = 4 → −2y = 0 → y = 0

حل النظام هو (4, 0).

الطريقة الثالثة: الحل البياني

الخطوات:

1. نمثل كل معادلة بمستقيم في معلم متعامد.
2. نحدد نقطة تقاطع المستقيمين.
3. إحداثيات نقطة التقاطع تمثل حل النظام.

مثال: حل النظام { x + y = 5 , x − y = 1 } بيانياً.

• المعادلة الأولى: y = −x + 5 تمر بالنقطتين (0,5) و (5,0).
• المعادلة الثانية: y = x − 1 تمر بالنقطتين (0,−1) و (1,0).
• نقطة تقاطع المستقيمين: (3, 2).

حل النظام هو (3, 2).

حالات خاصة

الحالة	عدد الحلول	التفسير البياني
المستقيمان متقاطعان	حل وحيد	معاملات مختلفة
المستقيمان متوازيان	لا يوجد حل	نفس الميل، مختلفا المقطع
المستقيمان متطابقان	عدد لا نهائي من الحلول	نفس المعادلة (أو مضاعفاتها)

تطبيقات: حل مسائل

مثال: اشترى أحمد 3 كتب و 4 أقلام بمبلغ 170 ديناراً. واشترى سعيد كتابين و 5 أقلام بمبلغ 125 ديناراً. أحسب ثمن الكتاب الواحد وثمن القلم الواحد.

الحل: نفرض x = ثمن الكتاب، y = ثمن القلم

• النظام: { 3x + 4y = 170 , 2x + 5y = 125 }
• نضرب الأولى في 2 والثانية في −3 للحذف: { 6x + 8y = 340 , −6x − 15y = −375 }
• نجمع: −7y = −35 → y = 5
• نعوض: 3x + 20 = 170 → 3x = 150 → x = 50

ثمن الكتاب: 50 ديناراً، ثمن القلم: 5 دنانير.

تمارين للتلميذ

1. حل النظام بطريقة التعويض: { x + 2y = 7 , 3x − y = 7 }
2. حل النظام بطريقة الجمع: { 2x + 3y = 8 , 4x − 3y = 10 }
3. حل النظام بيانياً: { x + y = 4 , 2x − y = 2 }
4. مجموع عددين هو 15 والفرق بينهما هو 3. جد العددين باستخدام نظام معادلتين.

الخلاصة

• نظام معادلتين: { a₁x + b₁y = c₁ , a₂x + b₂y = c₂ }.
• طرق الحل: التعويض، الجمع (الحذف)، البياني.
• حل النظام هو الزوج (x, y) الذي يحقق المعادلتين معاً.
• يمكن أن يكون للنظام: حل وحيد، لا حل، عدد لا نهائي من الحلول.

---

📍 دروس مشابهة

• المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — السنة الرابعة متوسط
• الدوال الخطية والدوال التآلفية — السنة الرابعة متوسط