مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
الهرم والمخروط الدوراني
أهداف الدرس
- أن يتعرف المتعلم على الهرم والمخروط الدوراني ومكوناتهما.
- أن يحسب المساحة الجانبية والكلية للهرم والمخروط.
- أن يحسب حجم الهرم والمخروط.
- أن يحل مسائل تطبيقية في الحياة اليومية.
أولاً: الهرم
تعريف الهرم
الهرم هو مجسم قاعدته مضلع (مثلث، مربع، …) وأوجهه الجانبية مثلثات تلتقي في نقطة تسمى رأس الهرم.
عناصر الهرم
- القاعدة: مضلع (مربع، مثلث، مستطيل…).
- الرأس: النقطة التي تلتقي فيها الأوجه الجانبية.
- الارتفاع (h): المسافة العمودية من الرأس إلى القاعدة.
- الأوجه الجانبية: مثلثات قاعدة كل منها ضلع من القاعدة.
مساحة وحجم الهرم
| المقدار | القانون |
|---|---|
| المساحة الجانبية | مجموع مساحات الأوجه الجانبية (المثلثات). |
| المساحة الكلية | المساحة الجانبية + مساحة القاعدة. |
| حجم الهرم | V = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع |
مثال محلول (الهرم)
مثال: هرم قاعدته مربع طول ضلعه 6 cm وارتفاعه 10 cm. أحسب حجمه.
الحل:
- مساحة القاعدة = 6 × 6 = 36 cm²
- V = (1/3) × 36 × 10
- V = 12 × 10 = 120 cm³
ثانياً: المخروط الدوراني
تعريف المخروط الدوراني
المخروط الدوراني هو مجسم ناتج عن دوران مثلث قائم حول أحد ضلعي القائمة. قاعدته دائرة وله رأس واحد.
عناصر المخروط الدوراني
- القاعدة: دائرة نصف قطرها r.
- الرأس: النقطة العليا للمخروط.
- الارتفاع (h): المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة.
- المولد (g): المسافة بين الرأس وأي نقطة على محيط القاعدة.
علاقة فيثاغورس: g² = r² + h²
مساحة وحجم المخروط الدوراني
| المقدار | القانون |
|---|---|
| المساحة الجانبية | Sج = π × r × g |
| المساحة الكلية | Sك = π × r × g + π × r² |
| حجم المخروط | V = (1/3) × π × r² × h |
مثال محلول (المخروط)
مثال: مخروط دوراني نصف قطر قاعدته 3 cm وارتفاعه 4 cm. أحسب حجمه ومساحته الجانبية.
الحل:
- أولاً: نوجد المولد g = √(r² + h²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
- الحجم: V = (1/3) × π × 9 × 4 = (1/3) × 36 × π = 12π ≈ 37.68 cm³
- المساحة الجانبية: Sج = π × 3 × 5 = 15π ≈ 47.1 cm²
تمارين للتلميذ
- هرم رباعي قاعدته مربع طول ضلعه 5 cm وارتفاعه 9 cm. أحسب حجمه.
- مخروط دوراني نصف قطر قاعدته 6 cm وارتفاعه 8 cm. أحسب حجمه ومساحته الكلية.
- خيمة على شكل هرم قاعدتها مربع طول ضلعه 4 m وارتفاعها 3 m. ما هو حجم الهواء داخل الخيمة؟
- مخروط دوراني حجمه 100.48 cm³ وارتفاعه 6 cm. أحسب نصف قطر قاعدته (استعمل π = 3.14).
الخلاصة
- حجم الهرم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع.
- حجم المخروط = (1/3) × π × r² × h.
- المساحة الجانبية للمخروط = π × r × g.
- العلاقة بين المولد ونصف القطر والارتفاع: g² = r² + h².
