المعالم في المستوى — الإحداثيات الكارتيزية وتمثيل النقط في المستوى — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

المعالم في المستوى

أهداف الدرس

• أن يتعرف المتعلم على مفهوم المعلم في المستوى (محورا الإحداثيات).
• أن يحدد إحداثيات نقطة في معلم متعامد ومتجانس.
• أن يضع نقطة في المستوى انطلاقاً من إحداثياتها.
• أن يحسب المسافة بين نقطتين في معلم متعامد.

1. مفهوم المعلم في المستوى

المعلم في المستوى هو نظام إحداثيات يتكون من مستقيمين متعامدين يتقاطعان في نقطة تسمى المبدأ (Origin).

• المستقيم الأفقي: محور الفواصل (محور x).
• المستقيم العمودي: محور التراتيب (محور y).
• نقطة التقاطع O: مبدأ المعلم وإحداثياتها (0, 0).

2. إحداثيات نقطة

لكل نقطة M في المستوى زوج مرتب (x, y) يسمى إحداثيات النقطة:

• الفاصلة (x): المسافة الإسقاطية على محور الفواصل.
• الترتيبة (y): المسافة الإسقاطية على محور التراتيب.

نكتب: M(x, y) حيث x هي الفاصلة و y هي الترتيبة.

3. كيفية تعيين إحداثيات نقطة

لإيجاد إحداثيات النقطة M:

1. نسقط النقطة M على محور الفواصل (نرسم مستقيماً يوازي محور التراتيب).
2. نقرأ الفاصلة x حيث يلتقي هذا المستقيم مع محور x.
3. نسقط النقطة M على محور التراتيب (نرسم مستقيماً يوازي محور الفواصل).
4. نقرأ الترتيبة y حيث يلتقي هذا المستقيم مع محور y.

4. كيفية وضع نقطة من إحداثياتها

لوضع النقطة M(3, 2) في المعلم:

1. نحدد الفاصلة 3 على محور x ونرسم مستقيماً يوازي محور y.
2. نحدد الترتيبة 2 على محور y ونرسم مستقيماً يوازي محور x.
3. نقطة تقاطع المستقيمين هي M(3, 2).

5. المسافة بين نقطتين في معلم متعامد

إذا كان A(x₁, y₁) و B(x₂, y₂)، فإن المسافة AB تُحسب بالقانون:

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

هذا القانون مبني على نظرية فيثاغورس.

أمثلة محلولة

مثال 1: في معلم متعامد ومتجانس، حدد إحداثيات النقط A, B, C إذا كان A يبعد 3 وحدات يمين المبدأ ووحدتين للأعلى، B يبعد 4 وحدات يسار المبدأ و 3 للأعلى.

الحل: A(3, 2) ، B(−4, 3)

مثال 2: ضع النقط D(−2, 3) و E(4, −1) في معلم متعامد ومتجانس.

الحل: على محور x نحدد −2، وعلى محور y نحدد 3، نقطة تقاطع المستقيمين المساعدين هي D.

مثال 3: أحسب المسافة بين A(1, 2) و B(5, 5).

الحل:

• AB = √[(5−1)² + (5−2)²]
• AB = √[4² + 3²]
• AB = √[16 + 9]
• AB = √25 = 5 وحدات

تمارين للتلميذ

1. حدد إحداثيات النقط A(2, 3), B(−1, 4), C(0, −2), D(3, 0).
2. ضع النقط التالية في معلم: P(2, 1), Q(−3, 2), R(0, 4), S(5, −2).
3. أحسب المسافة بين A(1, 1) و B(4, 5).
4. المثلث ABC فيه A(2, 1), B(6, 1), C(2, 4). بين أن المثلث قائم في A.

الخلاصة

• المعلم: مستقيمان متعامدان (محور الفواصل ومحور التراتيب).
• إحداثيات نقطة: (فاصلة, ترتيبة).
• المبدأ O(0, 0).
• المسافة بين نقطتين: AB = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²].

---

📍 دروس مشابهة

• المعادلات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — السنة الثالثة متوسط
• نظرية طالس في المثلث — السنة الثالثة متوسط