الإحصاء — التكرار والمتوسط الحسابي والوسيط والمنوال مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الإحصاء — التكرار والمتوسط الحسابي والوسيط والمنوال

الإحصاء فرع مهم من الرياضيات يهتم بجمع البيانات وتنظيمها وتحليلها واستخلاص النتائج منها. في هذا الدرس نتعرف على أهم المقاييس الإحصائية.

أهداف الدرس

• تنظيم البيانات في جداول إحصائية.
• حساب التكرار والتكرار النسبي.
• حساب المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات.
• إيجاد الوسيط والمنوال لسلسلة إحصائية.
• تمثيل البيانات بالمخططات البيانية.

أولا: تنظيم البيانات وتصنيفها

البيانات الإحصائية يمكن جمعها وتنظيمها في جدول يبين القيم والتكرارات.

التكرار: هو عدد مرات ظهور كل قيمة في السلسلة الإحصائية.

ثانيا: جدول البيانات والتكرارات

القيمة (xi)	التكرار (ni)	التكرار النسبي %
10	5	25%
12	8	40%
14	4	20%
16	3	15%
المجموع	20	100%

ثالثا: المتوسط الحسابي

تعريف: المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات هو مجموع القيم مقسوما على عددها.

x̄ = Σ(xi × ni) / N

حيث:
xi: القيم
ni: التكرارات
N: مجموع التكرارات (عدد المفردات)

مثال: احسب المتوسط الحسابي للبيانات في الجدول السابق.
الحل: x̄ = (10×5 + 12×8 + 14×4 + 16×3) ÷ 20 = (50 + 96 + 56 + 48) ÷ 20 = 250 ÷ 20 = 12.5

رابعا: الوسيط (Mediane)

تعريف: الوسيط هو القيمة التي تقسم السلسلة الإحصائية (مرتبة تصاعديا) إلى قسمين متساويين من حيث عدد المفردات.

طريقة الحساب:
إذا كان N فرديا: الوسيط هو القيمة رقم (N+1)/2.
إذا كان N زوجيا: الوسيط هو متوسط القيمتين رقم N/2 و (N/2)+1.

مثال: في المثال السابق N=20 (زوجي)، الوسيط بين القيمة العاشرة والحادية عشرة. من جدول التكرارات: القيمة 10 تتكرر 5 مرات، القيمة 12 تتكرر 8 مرات. القيمتان العاشرة والحادية عشرة هما 12 و 12. إذن الوسيط = 12.

خامسا: المنوال (Mode)

تعريف: المنوال هو القيمة الأكثر تكرارا في السلسلة الإحصائية.

في المثال السابق: المنوال هو 12 لأنه يتكرر 8 مرات (أعلى تكرار).

أمثلة محلولة

مثال شامل: في فصل دراسي مكون من 25 تلميذا، كانت علاماتهم في اختبار الرياضيات كالتالي:
12, 15, 10, 14, 12, 16, 18, 10, 13, 15, 12, 11, 17, 14, 15, 10, 12, 13, 15, 16, 14, 12, 11, 15, 13

1) أنشئ جدول التكرارات:

العلامة	10	11	12	13	14	15	16	17	18
التكرار	3	2	5	3	3	4	2	1	2

2) احسب المتوسط الحسابي:
x̄ = (10×3 + 11×2 + 12×5 + 13×3 + 14×3 + 15×4 + 16×2 + 17×1 + 18×2) / 25
= (30 + 22 + 60 + 39 + 42 + 60 + 32 + 17 + 36) / 25 = 338 / 25 = 13.52

3) المنوال: العلامة 12 (تكرار 5) ← المنوال = 12.

4) الوسيط: N=25 (فردي)، الترتيب (25+1)/2 = 13. القيمة 13 هي العلامة 13 ← الوسيط = 13.

تمارين

1. في استطلاع لـ 30 عائلة حول عدد أفرادها كانت النتائج:
   3, 5, 4, 6, 3, 4, 5, 5, 7, 4, 3, 4, 6, 5, 4, 5, 4, 3, 5, 6
   أ) أنشئ جدول التكرارات.
   ب) احسب المتوسط الحسابي.
   ج) حدد المنوال والوسيط.
2. علامات 10 تلاميذ: 15, 13, 18, 12, 16, 14, 17, 15, 11, 19. احسب المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.

دروس مشابهة

• الدوال الخطية والدوال التآلفية — تعريفها وتمثيلها البياني
• القوى في الرياضيات — مفهوم القوة وأسس العدد 10

خلاصة

المتوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوما على عددها. الوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب. المنوال هو القيمة الأكثر تكرارا. هذه المقاييس الثلاثة تساعدنا في تحليل البيانات الإحصائية واستخلاص المعلومات منها.