الزاوية المحيطية والزاوية المركزية في الدائرة — العلاقة والخصائص — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

في الهندسة المستوية، هناك علاقة مهمة بين الزوايا المرسومة في الدائرة. الزاوية المحيطية هي زاوية رأسها على الدائرة وضلعاها يقطعان الدائرة، بينما الزاوية المركزية رأسها مركز الدائرة. في هذا الدرس، سنتعرف على خصائص هذه الزوايا والعلاقة بينهما.

أهداف الدرس

• التعرف على مفهوم الزاوية المحيطية والزاوية المركزية
• فهم العلاقة بين قياس الزاوية المحيطية والزاوية المركزية
• إدراك خاصية الزوايا المحيطية المشتركة في قوس واحد
• تطبيق هذه المفاهيم في حل مسائل هندسية

I — تعريفات أساسية

1. الزاوية المحيطية (Angle inscrit)

الزاوية المحيطية هي زاوية رأسها يقع على دائرة، وضلعاها يقطعان الدائرة في نقطتين أخريين.

مثال: ABC زاوية محيطية إذا كانت النقطة B على الدائرة و A و C أيضاً على الدائرة.

يسمى القوس المحصور بين ضلعي الزاوية المحيطية القوس المقابل للزاوية.

2. الزاوية المركزية (Angle au centre)

الزاوية المركزية هي زاوية رأسها مركز الدائرة، وضلعاها هما نصفا قطرين.

مثال: AOB زاوية مركزية إذا كانت O مركز الدائرة و A و B نقطتان على الدائرة.

النوع	الرأس	الضلعان	القوس
الزاوية المحيطية	على الدائرة	وتران	القوس المقابل (المقابل للزاوية)
الزاوية المركزية	مركز الدائرة	نصفي قطرين	القوس المقابل (المقابل للزاوية)

II — العلاقة بين الزاوية المحيطية والزاوية المركزية

النظرية الأساسية:

قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس

إذا كانت A و B نقطتان على دائرة مركزها O، و C نقطة على الدائرة، فإن:

قياس (ACB) = ½ قياس (AOB)

حيث: ACB زاوية محيطية، AOB زاوية مركزية (كلاهما يشتركان في القوس AB).

مثال: إذا كانت الزاوية المركزية AOB = 80°، فإن الزاوية المحيطية ACB = 40°.

III — خاصية الزوايا المحيطية المشتركة في نفس القوس

النظرية:

جميع الزوايا المحيطية التي تشترك في نفس القوس تكون متساوية القياس.

إذا كانت A و B نقطتان على دائرة، وكانت C و D نقطتان أخريان على الدائرة، فإن:

قياس (ACB) = قياس (ADB)

مثال: في دائرة، إذا كانت الزاوية المحيطية الأولى = 35°، فإن أي زاوية محيطية أخرى تشترك معها في نفس القوس تكون أيضاً 35°.

IV — زاوية محيطية تقابل قطراً

خاصية هامة:

الزاوية المحيطية التي تقابل قطراً (أي تمر ضلعاها بقطري الدائرة) تكون قائمة (قياسها 90°).

إذا كان AB قطراً في دائرة، و C أي نقطة على الدائرة (C ≠ A, B)، فإن:

ACB = 90°

مثال: مثلث مرسوم في دائرة بحيث يكون ضلعه الأطول هو قطر الدائرة، فهو مثلث قائم الزاوية.

V — جدول تلخيصي

الخاصية	النص	مثال
العلاقة بين المحيطية والمركزية	المحيطية = ½ المركزية (لنفس القوس)	مركزية = 60° ← محيطية = 30°
الزوايا المحيطية المشتركة في نفس القوس	جميعها متساوية القياس	كل زوايا محيطية مشتركة في قوس AB متساوية
الزاوية المحيطية التي تقابل قطراً	قياسها 90° (زاوية قائمة)	مثلث قائم في دائرة

خلاصة

الزاوية المحيطية والزاوية المركزية مفهومان أساسيان في هندسة الدائرة. العلاقة بينهما: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس. كما أن جميع الزوايا المحيطية المشتركة في نفس القوس متساوية، والزاوية المحيطية التي تقابل قطراً هي زاوية قائمة (90°). هذه القواعد تساعد في حل العديد من المسائل الهندسية.

تمارين محلولة

التمرين 1

في دائرة مركزها O، زاوية مركزية AOB = 110°. احسب قياس الزاوية المحيطية ACB المشتركة معها في نفس القوس AB.

الحل:
قياس ACB = ½ × قياس AOB = ½ × 110° = 55°

التمرين 2

في دائرة، الزاوية المحيطية ACB = 45°. احسب قياس الزاوية المركزية AOB المشتركة معها في نفس القوس AB.

الحل:
قياس AOB = 2 × قياس ACB = 2 × 45° = 90°

التمرين 3

أرسم دائرة قطرها [AB]، وخذ نقطة C على الدائرة. ما نوع المثلث ABC؟

الحل:
المثلث ABC قائم الزاوية في C لأن الزاوية ACB محيطية تقابل القطر AB.