الدوال الأسية (Exponentielles): تعريف، خصائص، دراسة دالة، تمارين بكالوريا محلولة — الرياضيات — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

أهداف الدرس

• تعريف الدوال الأسية (Fonctions exponentielles)
• التعرف على خصائص الدالة الأسية (exp)
• حساب المشتقة وإجراء دراسة الدالة الأسية
• تطبيق الدوال الأسية في تمارين بكالوريا محلولة

1. تعريف الدالة الأسية (Fonction exponentielle)

الدالة الأسية الأساسية هي الدالة f(x) = exp(x) = e^x حيث e عدد حقيقي يساوي تقريباً 2.71828.

خاصيات أساسية:

• e^0 = 1
• e^1 = e
• e^(a+b) = e^a × e^b
• e^(a-b) = e^a / e^b
• (e^a)^b = e^(a×b)
• e^(-x) = 1 / e^x

2. خصائص الدالة f(x) = e^x

الخاصية	القيمة
مجموعة التعريف	R (جميع الأعداد الحقيقية)
المشتقة	f'(x) = e^x
إشارة الدالة	موجبة دائماً (e^x > 0 لكل x)
نهاية عند -∞	lim(x→-∞) e^x = 0
نهاية عند +∞	lim(x→+∞) e^x = +∞
الاتجاه	متزايدة تزايداً صارماً (f'(x) > 0)
المماس عند 0	y = x + 1

3. مشتقة الدالة الأسية (Derivee)

القاعدة الأساسية:

• Si f(x) = e^x alors f'(x) = e^x
• Si f(x) = e^(u(x)) alors f'(x) = u'(x) × e^(u(x))

أمثلة:

• f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2e^(2x)
• f(x) = e^(x²+1) → f'(x) = 2x × e^(x²+1)
• f(x) = 3e^(-x) → f'(x) = -3e^(-x)

4. دراسة دالة أسية (Etude de fonction)

مثال: ادرس الدالة f(x) = (x-1)e^x

الخطوة 1: مجموعة التعريف

Df = R (كل الأعداد الحقيقية)

الخطوة 2: حساب المشتقة

f'(x) = 1 × e^x + (x-1) × e^x = e^x(1 + x – 1) = x × e^x

f'(x) > 0 ⇔ x > 0

f'(x) = 0 ⇔ x = 0

الخطوة 3: جدول التغيرات

x	-∞	0	+∞
f'(x)	–	0	+
f(x)	تتناقص	f(0)=-1	تتزايد

الخطوة 4: النهايات

• lim(x→-∞) (x-1)e^x = 0 (لأن e^x تتغلب على x)
• lim(x→+∞) (x-1)e^x = +∞

الخطوة 5: التمثيل البياني

الدالة تتناقص من 0 إلى -1 ثم تتزايد من -1 إلى +∞. لها قيمة حدية صغرى عند x = 0 تساوي -1.

5. تمارين بكالوريا محلولة

التمرين الأول: حساب النهايات

احسب النهايات التالية:

1. lim(x→-∞) (2e^x + 3)
2. lim(x→+∞) (e^x – x)
3. lim(x→+∞) x²/e^x

الحل:

1. lim(x→-∞) e^x = 0 → lim = 2×0 + 3 = 3
2. lim(x→+∞) (e^x – x) = +∞ (لأن e^x تنمو أسرع من x)
3. lim(x→+∞) x²/e^x = 0 (لأن e^x تنمو أسرع من أي دالة حدودية)

التمرين الثاني: (نمط بكالوريا)

لتكن الدالة f(x) = x² × e^(-x)

1. أحسب f'(x).
2. ادرس إشارة f'(x) وشكل جدول التغيرات.
3. أحسب النهايات عند ±∞.

الحل:

1. f'(x) = 2x × e^(-x) + x² × (-e^(-x)) = e^(-x)(2x – x²) = x(2-x)e^(-x)

2. e^(-x) > 0 دائماً. f'(x) = 0 ⇔ x = 0 أو x = 2.

جدول التغيرات:

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	–	0	+	0	–
f(x)	→+∞	تنازلي	f(0)=0	تصاعدي	f(2)=4/e²	تنازلي	→0

3. lim(x→-∞) f(x) = +∞ (لأن x² تنمو وe^(-x)→+∞)

lim(x→+∞) f(x) = 0 (لأن e^(-x)→0 أسرع من نمو x²)

التمرين الثالث: (نمط بكالوريا)

حل المعادلة e^(2x) – 5e^x + 6 = 0

الحل:

نضع X = e^x (X > 0)

المعادلة تصبح: X² – 5X + 6 = 0

Δ = 25 – 24 = 1

X₁ = (5-1)/2 = 2 و X₂ = (5+1)/2 = 3

e^x = 2 → x = ln 2

e^x = 3 → x = ln 3

مجموعة الحلول: S = {ln 2, ln 3}

6. خلاصة

• الدالة الأسية f(x)=e^x: معرفة على R، موجبة، متزايدة
• مشتقة e^x هي e^x، ومشتقة e^(u(x)) هي u'(x)×e^(u(x))
• e^x تنمو أسرع من أي دالة حدودية عند +∞
• لحل معادلات أسية: نستخدم التعويض X = e^x
• الدوال الأسية أساسية في امتحان البكالوريا

📍 دروس مشابهة:

• التكاثر عند الإنسان: الجهاز التناسلي، الهرمونات، الدورة الشهرية والإخصاب مع تمارين بكالوريا محلولة — علوم الطبيعة والحياة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري
• التنسيق الوظيفي العصبي والهرموني عند الإنسان: دور الجهاز العصبي والهرمونات في التنظيم مع تمارين بكالوريا محلولة — علوم الطبيعة والحياة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري
• العروض والأوزان الشعرية: التفعيلات والبحور (البحر الطويل والبحر الكامل والبحر البسيط والوافر والرجز) مع تمارين محلولة — اللغة العربية — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري