الدوال الأسية واللوغاريتمية: تعريفها وخواصها وقواعد الحساب مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — رياضيات — المنهاج الجزائري

الدرس: الدوال الأسية واللوغاريتمية — تعريفها وخواصها وتمارين محلولة

الأهداف التعليمية:

• أن يتعرف التلميذ على الدالة الأسية وخواصها
• أن يتعرف على الدالة اللوغاريتمية الطبيعية (ln) وخواصها
• أن يحل معادلات ومتراجحات أسية ولوغاريتمية
• أن يمثل الدوال الأسية واللوغاريتمية بيانياً

أولاً: الدالة الأسية (exponentielle)

تعريف: الدالة الأسية الطبيعية تكتب f(x) = eˣ أو exp(x)، حيث e عدد غير نسبي قيمته ≈ 2.71828.

خواص أساسية:

• مجال التعريف: D_f = ℝ
• المدى: ]0, +∞[ (الدالة موجبة تماماً)
• e⁰ = 1
• e¹ = e
• مشتقة الدالة الأسية: (eˣ)’ = eˣ
• الدالة الأسية تزايدية قطعاً على ℝ

قواعد الحساب:

• e^(a+b) = e^a × e^b
• e^(a-b) = e^a / e^b
• (e^a)ⁿ = e^(a·n)
• e^(-a) = 1/e^a

ثانياً: الدالة اللوغاريتمية الطبيعية (ln)

تعريف: الدالة اللوغاريتمية الطبيعية هي الدالة العكسية للدالة الأسية. تكتب y = ln(x) وتقرأ “لوغاريتم x الطبيعي”.

خواص أساسية:

• مجال التعريف: D_f = ]0, +∞[
• ln(1) = 0
• ln(e) = 1
• مشتقة الدالة: (ln x)’ = 1/x
• الدالة اللوغاريتمية تزايدية قطعاً على ]0, +∞[
• من أجل a, b > 0:

قواعد الحساب:

• ln(a × b) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
• ln(aⁿ) = n × ln(a)
• ln(1/a) = -ln(a)

ثالثاً: العلاقة بين الدالتين

• من أجل كل x ∈ ℝ: ln(eˣ) = x
• من أجل كل x > 0: e^(ln x) = x
• المعادلة eˣ = a (a > 0) → x = ln(a)
• المتراجحة eˣ > a (a > 0) → x > ln(a)

تمارين محلولة (بكالوريا):

التمرين 1: حل المعادلة e^(2x) – 3eˣ + 2 = 0
الحل: نضع X = eˣ، فتصبح: X² – 3X + 2 = 0. نحل: Δ = 9 – 8 = 1.
X₁ = (3+1)/2 = 2 و X₂ = (3-1)/2 = 1.
إذن eˣ = 2 → x = ln(2) أو eˣ = 1 → x = 0.
مجموعة الحلول: S = {0, ln(2)}

التمرين 2: احسب نهاية الدالة f(x) = eˣ – x عندما x → +∞
الحل: نعلم أن lim(eˣ/x) = +∞ عندما x → +∞، إذن eˣ تنمو أسرع من x.
إذن lim(eˣ – x) = +∞.

التمرين 3: حل المتراجحة ln(2x – 1) > 0
الحل: شرط التعريف: 2x – 1 > 0 → x > 1/2.
ln(2x – 1) > 0 → ln(2x – 1) > ln(1) → 2x – 1 > 1 → 2x > 2 → x > 1.
إذن S = {x ∈ ℝ : x > 1}

دروس مشابهة:

• الاحتمالات (مقدمة) — الرياضيات — الثانية ثانوي
• الاشتقاقية: قواعد الاشتقاق وتطبيقاتها — الرياضيات — الثانية ثانوي