الزوايا الموجهة: القياس الرئيسي والزوايا المتكافئة – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

الزوايا الموجهة: القياس الرئيسي والزوايا المتكافئة – الرياضيات

الزوايا الموجهة توسع مفهوم الزاوية الهندسية لتشمل الاتجاه والقيمة الجبرية. أساسية في الدوال المثلثية وعلم المثلثات.

1. مفهوم الزاوية الموجهة

الزاوية الموجهة (Orienté) زاوية بين شعاعين لها اتجاه (موجب عكس عقارب الساعة، سالب مع عقارب الساعة). قيمتها يمكن أن تتجاوز 360° أو 2π راديان.

2. القياس الرئيسي

القياس الرئيسي لزاوية هو قيمتها المحصورة بين 0 و 2π (أو -π و π). نقوم بإضافة أو طرح مضاعفات 2π للحصول على القياس الرئيسي.

مثال: زاوية قياسها 7π/3. القياس الرئيسي: 7π/3 – 2π = 7π/3 – 6π/3 = π/3.

3. الزوايا المتكافئة

زاويتان متكافئتان إذا كانت قيمة إحداهما تساوي الأخرى مضافاً إليها مضاعف صحيح للعدد 2π. أي: θ و θ + 2kπ (k ∈ Z) متكافئتان.

4. النسب المثلثية للزوايا الموجهة

الدوال المثلثية للزوايا الموجهة هي دوال دورية دورها 2π: sin(θ + 2π) = sin(θ)، cos(θ + 2π) = cos(θ).

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: أوجد القياس الرئيسي للزاوية 13π/4.

التمرين 2: هل الزاويتان π/3 و 7π/3 متكافئتان؟

التمرين 3: إذا كانت sin(θ) = 0.5، أوجد جميع الزوايا التي تحقق ذلك في [0, 2π].

6. الحلول

حل 1: 13π/4 – 2π = 13π/4 – 8π/4 = 5π/4. القياس الرئيسي = 5π/4.

حل 2: 7π/3 – π/3 = 6π/3 = 2π. إذن الزاويتان متكافئتان.

حل 3: sin(θ) = 0.5. θ = π/6 أو θ = 5π/6 (في [0, 2π]).

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.