الجداء السلمي: تعريفه وخصائصه وتطبيقاته الهندسية — الثانية ثانوي

الجداء السلمي: تعريفه وخصائصه وتطبيقاته

الجداء السلمي عملية أساسية في الهندسة التحليلية تمكن من حساب الزوايا والمساقط والإسقاطات.

1. تعريف الجداء السلمي

الجداء السلمي لمتجهين u و v: u·v = |u|×|v|×cos θ حيث θ الزاوية بينهما. في المعلم المتعامد: u·v = x₁x₂ + y₁y₂.

2. خصائص الجداء السلمي

تبادلي: u·v = v·u. توزيعي: u·(v+w) = u·v + u·w. u·u = |u|². متجهان متعامدان إذا كان u·v = 0.

3. تطبيقات

حساب الزاوية بين متجهين: cos θ = (u·v)/(|u||v|). حساب المسقط العمودي. إثبات التعامد في الأشكال الهندسية. علاقة المثلث: قانون余弦 a² = b²+c²-2bc cos A.

4. في الهندسة التحليلية

معادلة دائرة: (x-a)²+(y-b)² = R². معادلة مستقيم: ax+by+c=0 حيث (a,b) متجه ناظم.

مثال

u(2,3) و v(4,-1). u·v = 2×4+3×(-1) = 8-3=5. |u| = √13, |v| = √17. cos θ = 5/√(13×17) ≈ 0.336.

تمارين

1. تحقق أن u(1,2) و v(2,-1) متعامدان.
2. أوجد الزاوية بين u(3,4) و v(1,2).