المصفوفات: الجمع والضرب والمحددات — الثالثة ثانوي

المصفوفات: الجمع والضرب والمحددات

المصفوفات هي أدوات رياضية قوية تستخدم لتنظيم البيانات وحل أنظمة المعادلات الخطية. لها تطبيقات واسعة في علوم الحاسوب والفيزياء والهندسة والاقتصاد.

1. تعريف المصفوفة

المصفوفة هي جدول مستطيل من الأعداد مرتب في صفوف وأعمدة. يرمز لمصفوفة ذات m صف و n عمود بالرمز A = (aᵢⱼ) من النوع m×n حيث aᵢⱼ هو العنصر الموجود في الصف i والعمود j.

2. العمليات على المصفوفات

• جمع المصفوفات: نجمع العناصر المتناظرة. يشترط أن تكون المصفوفتان من نفس النوع.
• ضرب مصفوفة في عدد: نضرب كل عنصر في ذلك العدد.
• ضرب مصفوفتين: حاصل ضرب A(m×n) في B(n×p) هو مصفوفة C(m×p) حيث cᵢⱼ = Σaᵢₖ×bₖⱼ (لـ k=1 إلى n).

3. أنواع خاصة من المصفوفات

• المصفوفة المربعة: عدد الصفوف = عدد الأعمدة
• مصفوفة الوحدة (I): مصفوفة مربعة فيها 1 على القطر الرئيسي و 0 في الباقي
• المصفوفة المنقولة (Aᵀ): نحصل عليها بتبديل الصفوف بالأعمدة
• المصفوفة المتماثلة: Aᵀ = A

4. محدد المصفوفة

محدد مصفوفة من الرتبة 2: det[a b; c d] = ad – bc. محدد مصفوفة من الرتبة 3 يحسب باستخدام قاعدة ساروس أو طريقة النشر بالنسبة لصف أو عمود.

5. تطبيقات المصفوفات

تستخدم المصفوفات في: حل أنظمة المعادلات الخطية بطريقة غاوس، التشفير (شيفرة هيل)، معالجة الصور الرقمية، تحليل الشبكات الكهربائية، وتصميم ألعاب الفيديو (تحويلات ثلاثية الأبعاد).

مثال تطبيقي

مثال: أحسب AB حيث A = [1 2; 3 4] و B = [5 6; 7 8].
الحل: AB = [1×5+2×7, 1×6+2×8; 3×5+4×7, 3×6+4×8] = [19, 22; 43, 50].

تمارين

1. أحسب A+B حيث A = [1 -1; 2 3] و B = [4 0; -2 5]
2. أحسب محدد المصفوفة: det[3 5; 2 4]
3. أحسب A×B حيث A = [1 2; 0 -1] و B = [3; 1]
4. أوجد المنقولة Aᵀ للمصفوفة A = [1 2 3; 4 5 6]

للمزيد من المعلومات، راجع درس الخوارزميات المتقدمة: المصفوفات والدوال ودرس المصفوفات في لغة باسكال.