الاحتمالات: قواعد الحساب والتطبيقات العملية — الثالثة ثانوي

الاحتمالات: قواعد الحساب والتطبيقات العملية

علم الاحتمالات هو فرع من فروع الرياضيات يدرس الظواهر العشوائية وحساب فرص حدوثها. يستخدم هذا العلم في مجالات متنوعة مثل الإحصاء والاقتصاد والفيزياء وعلوم الحاسوب.

1. المفاهيم الأساسية

التجربة العشوائية: هي تجربة يمكن تكرارها تحت نفس الظروف ولكن نتيجتها غير مؤكدة مسبقاً. فضاء العينات (Ω): مجموعة جميع النتائج الممكنة. الحدث: مجموعة جزئية من Ω.

2. العمليات على الأحداث

• اتحاد حدثين (A∪B): يقع إذا وقع A أو B أو كلاهما
• تقاطع حدثين (A∩B): يقع إذا وقع A و B معاً
• الحدث المتمم (Ā): يقع إذا لم يقع A
• الأحداث المتنافية: أحداث لا يمكن أن تقع معاً (A∩B = ∅)

3. قواعد حساب الاحتمالات

• احتمال حدث: P(A) = عدد حالات A / عدد حالات Ω (في حالة التساوي الاحتمال)
• قانون الجمع: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
• قانون الحدث المتمم: P(Ā) = 1 – P(A)
• الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A∩B)/P(B) حيث P(B) ≠ 0

4. قانون الاحتمال الكلي وبيز

إذا كانت {A₁, A₂, …, Aₙ} تقسيماً لـ Ω، فإن: P(B) = ΣP(Aᵢ)×P(B|Aᵢ). وقانون بيز: P(Aᵢ|B) = P(Aᵢ)×P(B|Aᵢ)/P(B).

5. المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي X هو تطبيق من Ω إلى ℝ. نحدد قانون احتماله بجدول يربط كل قيمة بـ احتمالها. الأمل الرياضي: E(X) = Σxᵢ×P(X=xᵢ). التباين: Var(X) = E(X²) – (E(X))².

مثال تطبيقي

مثال: نرمي حجري نرد متوازنين. ما احتمال أن يكون مجموع الوجهين 7؟
الحل: عدد النتائج الممكنة = 6×6 = 36. الحالات التي مجموعها 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) أي 6 حالات. P = 6/36 = 1/6.

تمارين

1. في صندوق 3 كرات حمراء و 5 كرات زرقاء. أسحب كرة عشوائياً. ما احتمال أن تكون حمراء؟
2. نرمي قطعة نقد مرتين. ما احتمال ظهور وجه واحد على الأقل؟
3. إذا كان P(A)=0.4, P(B)=0.5, P(A∩B)=0.2، أحسب P(A∪B)
4. متغير عشوائي X يأخذ القيم 1,2,3 باحتمالات 0.3, 0.5, 0.2. أحسب E(X).

للمزيد من الشرح، راجع درس الاحتمالات للسنة الثالثة متوسط ودرس الاحتمال الشرطي وقانون بيز.