الرياضيات — المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: y” + ay’ + by = 0 — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية

المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية: y” + a y’ + b y = 0 حيث a,b ∈ ℝ. حلها يعتمد على المعادلة المميزة: r² + ar + b = 0. أنواع الحلول حسب مميز المعادلة المميزة Δ.

حالة Δ > 0

جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂. الحل العام: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x). تتعلق الثوابت C₁, C₂ بالشروط البدئية.

حالة Δ = 0

جذر مزدوج r₀. الحل العام: y = (C₁ + C₂x)e^(r₀x).

حالة Δ < 0

جذران مركبان r = α ± iβ. الحل العام: y = e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx)).

تمارين

1. حل y” − 3y’ + 2y = 0.
2. حل y” + 4y = 0 مع y(0)=1, y'(0)=0.
3. حل y” + 2y’ + y = 0 مع y(0)=0, y'(0)=2.

للمزيد: الدوال الأسية و النهايات والاستمرارية.