الرياضيات — جملة معادلتين: طرق الحل (التعويض والحذف) — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

الدرس: جملة معادلتين – طرق الحل (التعويض والحذف)

1. مفهوم جملة معادلتين

جملة معادلتين من الدرجة الأولى بمجهولين x و y هي: ax + by = c و dx + ey = f. حل الجملة هو زوج (x, y) يحقق المعادلتين معاً. بيانياً، حل الجملة هو نقطة تقاطع المستقيمين الممثلين للمعادلتين. للجملة ثلاث حالات: حل وحيد (مستقيمان متقاطعان)، لا حل (مستقيمان متوازيان)، عدد لا نهائي من الحلول (مستقيمان منطبقان).

2. طريقة التعويض

الخطوات: 1) نعبر عن أحد المجهولين بدلالة الآخر من إحدى المعادلتين. 2) نعوض بهذا التعبير في المعادلة الأخرى. 3) نحل المعادلة الناتجة (بمجهول واحد). 4) نجد قيمة المجهول الثاني بتعويض القيمة في إحدى المعادلتين. مثال: 2x + y = 7 و x – y = 2. نعبر عن y = 7 – 2x. نعوض: x – (7-2x) = 2 ← 3x – 7 = 2 ← x = 3. ثم y = 7 – 6 = 1. الحل (3,1).

3. طريقة الحذف (الجمع)

نضرب المعادلتين في أعداد مناسبة لتصبح معاملات أحد المجهولين متعاكسة (أو متساوية)، ثم نجمع (أو نطرح) المعادلتين لحذف هذا المجهول. مثال: 3x + 2y = 13 و x – 2y = -1. بجمع المعادلتين: 4x = 12 ← x = 3. نعوض في الثانية: 3 – 2y = -1 ← -2y = -4 ← y = 2. الحل (3,2).

4. تطبيقات عملية

المسائل الكلامية: عند شراء قلمين وثلاثة دفاتر بثمن 190 ديناراً، وقلم واحد ودفترين بثمن 110 دنانير. نفترض أن x ثمن القلم و y ثمن الدفتر. 2x + 3y = 190 و x + 2y = 110. بالحذف: نضرب الثانية في 2: 2x + 4y = 220. نطرح الأولى من الجديدة: y = 30. ثم x = 50. القلم 50 ديناراً والدفتر 30 ديناراً.

5. مثال تطبيقي

حل الجملة: 2x + 3y = 12 و 3x – y = 7.

الحل: من الثانية: y = 3x – 7. نعوض في الأولى: 2x + 3(3x-7) = 12 ← 2x + 9x – 21 = 12 ← 11x = 33 ← x = 3. ثم y = 3×3 – 7 = 2. الحل (3,2).

6. تمارين

التمرين الأول: حل الجملة: x + y = 10 و 2x – y = 5.

التمرين الثاني: أب عمره 42 سنة وابنه 12 سنة. بعد كم سنة يصبح عمر الأب ضعف عمر الابن؟

للمزيد: درس الأعداد الطبيعية و درس القوى والجذور.