الجبر الخطي — المصفوفات: العمليات على المصفوفات والمحددات — السنة الأولى جامعي — المنهاج الجزائري

مقدمة في المصفوفات

المصفوفات هي أدوات رياضية قوية تستخدم لتنظيم البيانات وحل أنظمة المعادلات الخطية. تتكون المصفوفة من عناصر مرتبة في صفوف وأعمدة.

تعريف المصفوفة

المصفوفة A ذات البعد m×n هي ترتيب مستطيل من الأعداد موزعة على m صف و n عمود. نرمز لها بالشكل A = [a_ij] حيث i يمثل رقم الصف و j يمثل رقم العمود.

العمليات على المصفوفات

• جمع المصفوفات: نجمع العناصر المتناظرة، ويشترط أن تكون المصفوفتان من نفس البعد.
• ضرب المصفوفة بعدد: نضرب كل عنصر في العدد.
• ضرب المصفوفات: إذا كانت A من البعد m×p و B من البعد p×n، فإن A·B من البعد m×n.
• منقولة المصفوفة: قلب المصفوفة بحيث تصبح الصفوف أعمدة والأعمدة صفوفاً.

المحددات (Determinants)

المحدد هو قيمة عددية ترتبط بالمصفوفات المربعة. يحسب محدد مصفوفة 2×2 كالتالي:

det(A) = |a b; c d| = ad – bc

أمثلة تطبيقية

مثال 1: إذا كانت A = [1 2; 3 4] و B = [5 6; 7 8]، جد A+B و A·B
الحل: A+B = [6 8; 10 12]، A·B = [19 22; 43 50]

مثال 2: احسب محدد المصفوفة A = [2 -1; 3 4] الحل: det(A) = 2×4 – (-1)×3 = 8 + 3 = 11