الرياضيات — التكامل: تطبيقات التكامل في حساب المساحات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع التكامل: تطبيقات التكامل في حساب المساحات الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الثالثة ثانوي (الشعب العلمية). يعتبر حساب المساحات باستخدام التكامل من أهم تطبيقات التكامل المحدد في الرياضيات والفيزياء.

المساحة بين منحنى ومحور الفواصل

المساحة المحصورة بين منحنى الدالة f ومحور الفواصل (Ox) والمستقيمين x = a و x = b تحسب بالصيغة: A = ∫ₐᵇ |f(x)| dx. إذا كانت f(x) ≥ 0 على [a,b]، فإن A = ∫ₐᵇ f(x) dx. إذا كانت f(x) ≤ 0، فإن A = -∫ₐᵇ f(x) dx.

المساحة بين منحنيين

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين f و g على المجال [a,b]، نستخدم الصيغة: A = ∫ₐᵇ |f(x) – g(x)| dx. نحدد أولاً أي الدالتين أكبر على المجال المعطى.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: احسب المساحة المحصورة بين منحنى الدالة f(x) = x² ومحور الفواصل من x = 0 إلى x = 2. A = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 وحدة مساحة.

المثال الثاني: احسب المساحة بين f(x) = x و g(x) = x² من x = 0 إلى x = 1. A = ∫₀¹ (x – x²) dx = [x²/2 – x³/3]₀¹ = 1/2 – 1/3 = 1/6.

تمارين للتدريب

1. احسب المساحة تحت منحنى f(x) = 2x من x = 1 إلى x = 3.
2. احسب المساحة بين f(x) = x² و g(x) = 2x.
3. احسب المساحة المحصورة بين f(x) = sin x ومحور الفواصل من x = 0 إلى x = π.

خلاصة

التكامل المحدد أداة قوية لحساب المساحات. المفتاح هو تحديد الدالة الأعلى والدالة الأدنى واستخدام الصيغة المناسبة. هذا الموضوع أساسي في امتحان البكالوريا.

دروس ذات صلة

• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – أساسيات الاشتقاق.
• درس المعادلات من الدرجة الثانية – حل المعادلات التربيعية.