الرياضيات — المتتاليات الهندسية: تعريفها وخصائصها — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع المتتاليات الهندسية: تعريفها وخصائصها الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الأولى ثانوي (الشعب العلمية) في المنهاج الجزائري. المتتاليات الهندسية هي متتاليات عددية يكون فيها كل حد مضاعفاً للحد الذي يسبقه بعدد ثابت. هذا النوع من المتتاليات يستخدم في حساب الفوائد المركبة والنمو الأسي.

تعريف المتتالية الهندسية

نقول أن متتالية عددية (Un) متتالية هندسية إذا وجد عدد حقيقي q ثابت بحيث لكل عدد طبيعي n: Un+1 = q × Un. العدد q يسمى أساس المتتالية الهندسية أو النسبة المشتركة. إذا كان q بين 0 و 1، تكون المتتالية متناقصة، وإذا كان q أكبر من 1، تكون متزايدة.

خصائص المتتالية الهندسية

الحد العام لمتتالية هندسية هو Un = U0 × q^n حيث U0 هو الحد الأول و q هو الأساس. مجموع أول n حداً من متتالية هندسية (عندما q ≠ 1) هو Sn = U0 × (1 – q^(n+1))/(1 – q). هذه العلاقة مفيدة جداً في حساب المجاميع.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: لتكن متتالية معرفة بـ Un = 2^n. هل هي هندسية؟ نعم، لأن Un+1/Un = 2^(n+1)/2^n = 2، وهو ثابت. الأساس q = 2.

المثال الثاني: متتالية هندسية حدها الأول U0 = 5 وأساسها q = 3. احسب U2 و U4. U2 = 5 × 3^2 = 5 × 9 = 45. U4 = 5 × 3^4 = 5 × 81 = 405.

تمارين للتدريب

1. متتالية هندسية حدها الأول 2 وأساسها 5. أحسب U3 و U5.
2. حدد أساس المتتالية الهندسية: 3, 6, 12, 24, …
3. احسب مجموع أول 4 حدود من متتالية هندسية حدها الأول 1 وأساسها 2.

خلاصة

المتتالية الهندسية هي متتالية تكون النسبة بين أي حدين متتاليين فيها ثابتة. تستخدم هذه المتتاليات في نمذجة النمو السكاني والفوائد المركبة والاضمحلال الإشعاعي. نوصي بحل جميع التمارين لفهم أعمق للموضوع.

دروس ذات صلة

• درس المتتاليات: رتابة متتالية – تعلم كيفية دراسة رتابة المتتاليات.
• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – اكتشف مفاهيم الاشتقاق والتكامل.