الرياضيات — المتتاليات الحسابية: تعريفها وخصائصها — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

في هذا الدرس، سنتناول موضوع المتتاليات الحسابية: تعريفها وخصائصها الخاص بمادة الرياضيات لتلاميذ الأولى ثانوي (الشعب العلمية) في المنهاج الجزائري. المتتاليات الحسابية هي أحد المفاهيم الأساسية في دراسة المتتاليات العددية، وتستخدم في مجالات عديدة مثل حساب الفوائد البنكية والنمو السكاني.

تعريف المتتالية الحسابية

نقول أن متتالية عددية (Un) متتالية حسابية إذا وجد عدد حقيقي r ثابت بحيث لكل عدد طبيعي n: Un+1 = Un + r. العدد r يسمى أساس المتتالية الحسابية أو الخطوة. بعبارة أخرى، كل حد من حدود المتتالية يُحصل عليه بإضافة عدد ثابت (الأساس) إلى الحد الذي قبله.

خصائص المتتالية الحسابية

للمتتاليات الحسابية عدة خصائص مهمة. أولاً: الحد العام لمتتالية حسابية هو Un = U0 + n×r حيث U0 هو الحد الأول و r هو الأساس. ثانياً: المتتالية الحسابية تكون متزايدة إذا كان r > 0، ومتناقصة إذا كان r < 0، وثابتة إذا كان r = 0.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول: لتكن متتالية عددية معرفة بـ Un = 3n + 2. هل هذه المتتالية حسابية؟ نعم، لأن Un+1 – Un = 3(n+1) + 2 – (3n + 2) = 3، وهو عدد ثابت، إذن الأساس r = 3.

المثال الثاني: متتالية حسابية حدها الأول U0 = 7 وأساسها r = -2. احسب الحدود U1 وU2 وU10. U1 = 7 + (-2) = 5، U2 = 5 + (-2) = 3، U10 = 7 + 10×(-2) = 7 – 20 = -13.

تمارين للتدريب

1. لتكن متتالية حسابية حيث U0 = 5 و r = 4. أحسب U3 و U6 و U20.
2. حدد أساس المتتالية الحسابية التي تعرفها حدودها: U0 = 9، U1 = 7، U2 = 5، U3 = 3.
3. مثل بيانياً حدود المتتالية الحسابية Un = 2n – 1.

خلاصة

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين فيها ثابتاً. يمكن استخدام القانون العام Un = Up + (n-p)×r لحساب أي حد في المتتالية. ننصح التلاميذ بحل التمارين لفهم أعمق للموضوع.

دروس ذات صلة

• درس المتتاليات: رتابة متتالية – تعرف على كيفية دراسة رتابة المتتاليات العددية.
• درس الاشتقاقية: عدد مشتق دالة – استكشف مفهوم الاشتقاق وتطبيقاته في الرياضيات.