الرياضيات — الأعداد العقدية: الشكل الجبري والتمثيل الهندسي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الرياضيات — الأعداد العقدية: الشكل الجبري والتمثيل الهندسي

المحتوى العلمي

الأعداد العقدية (Complex Numbers) هي أعداد من الشكل z=a+bi حيث a,b∈R و i²=-1. a يسمى الجزء الحقيقي (Re(z)) وb يسمى الجزء التخيلي (Im(z)). العمليات: الجمع (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. الضرب (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i. المرافق: z=a+bi فمرافقه z̄=a-bi. المقياس: |z|=√(a²+b²). الشكل المثلثي: z=r(cosθ+i.sinθ) حيث r=|z| وθ=arg(z). صيغة دي موافر: (cosθ+i.sinθ)^n = cos(nθ)+i.sin(nθ). الشكل الأسي: z=r.e^(iθ). تستخدم الأعداد العقدية في الكهرباء (تحليل دارات التيار المتناوب) ومعالجة الإشارات وميكانيكا الكم.

أمثلة تطبيقية

مثال: (2+3i)+(1-2i)=3+i. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=2-i+6=8-i. مثال آخر: العدد العقدي z=1+√3i. مقياسه |z|=√(1+3)=2. وسيطه θ=arctan(√3/1)=60°=π/3. إذن الشكل المثلثي: z=2(cos60°+i.sin60°).

تمارين

التمرين الأول: احسب: (3+2i)+(4-5i) و (2-i)(3+4i).
التمرين الثاني: مثل العدد العقدي z=1+√3i في الشكل المثلثي.
التمرين الثالث: حل المعادلة z²+2z+5=0 في مجموعة الأعداد العقدية.