الرياضيات — المتطابقات المثلثية: العلاقات بين النسب المثلثية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتطابقات المثلثية: العلاقات بين النسب المثلثية

المتطابقات المثلثية هي علاقات رياضية تربط بين النسب المثلثية الأساسية (الجيب، جيب التمام، الظل). فهم هذه العلاقات ضروري لحل المعادلات المثلثية وتبسيط العبارات وإثبات المتطابقات في الرياضيات للشعب العلمية.

1. المتطابقة الأساسية (فيثاغورس المثلثية)

أهم متطابقة مثلثية هي: sin²x + cos²x = 1. من هذه المتطابقة نشتق:

• sin²x = 1 – cos²x
• cos²x = 1 – sin²x
• 1 + tan²x = 1/cos²x (بقسمة المتطابقة على cos²x)
• 1 + cot²x = 1/sin²x (بقسمة المتطابقة على sin²x)

2. علاقة الظل والظل التمام

tan x = sin x / cos x (حيث cos x ≠ 0)
cot x = cos x / sin x = 1/tan x (حيث sin x ≠ 0)

3. المتطابقات الأخرى المهمة

متطابقات ضعف الزاوية:
sin(2x) = 2 sin x cos x
cos(2x) = cos²x – sin²x = 1 – 2sin²x = 2cos²x – 1
tan(2x) = 2tan x / (1 – tan²x)

متطابقات نصف الزاوية:
sin²(x/2) = (1 – cos x)/2
cos²(x/2) = (1 + cos x)/2

متطابقات الجمع والطرح:
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a-b) = sin a cos b – cos a sin b
cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b
cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b

4. تحويل الجداء إلى مجموع

sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] cos a sin b = ½[sin(a+b) – sin(a-b)] cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)] sin a sin b = -½[cos(a+b) – cos(a-b)]

أمثلة تطبيقية

مثال 1: بسّط العبارة: A = sin²x + cos²x + tan²x
الحل: sin²x + cos²x = 1، إذن A = 1 + tan²x = 1/cos²x

مثال 2: أثبت أن: (sin x + cos x)² = 1 + sin(2x)
الحل: (sin x + cos x)² = sin²x + 2sin x cos x + cos²x = 1 + sin(2x)

مثال 3: احسب sin(75°) مستعملاً متطابقات الجمع.
الحل: sin(75°) = sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6+√2)/4

تمارين تطبيقية

1. أثبت أن: tan x + cot x = 1/(sin x cos x)
2. بسّط: cos⁴x – sin⁴x
3. حل المعادلة: cos(2x) = cos x في المجال [0, 2π]
4. احسب sin(15°) باستعمال متطابقات نصف الزاوية
5. أثبت أن: (sin x + sin 2x + sin 3x) / (cos x + cos 2x + cos 3x) = tan 2x

خلاصة

المتطابقات المثلثية أدوات أساسية في حل المسائل المثلثية. يجب حفظ المتطابقات الأساسية وفهم كيفية اشتقاق المتطابقات الأخرى منها. ننصح بحل تمارين متنوعة لإتقان استخدام هذه العلاقات.

دروس مشابهة

• الدوال المثلثية: المعادلات والمتراجحات
• النسب المثلثية في مثلث قائم الزاوية