مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تمارين شاملة في الهندسة التحليلية
الهندسة التحليلية فرع مهم من الرياضيات يدمج بين الجبر والهندسة باستخدام نظام الإحداثيات. هذا الدرس يقدم مجموعة من التمارين الشاملة مع الحلول لجميع المفاهيم الأساسية في الهندسة التحليلية للمستوى الثانوي.
أولا: معادلة مستقيم في المستوى
الصورة العامة: ax + by + c = 0. الميل m = -a/b. معادلة مستقيم يمر بالنقطتين A(x₁,y₁) و B(x₂,y₂): (y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁).
مثال 1: اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين A(1,2) و B(3,6).
الحل: الميل m = (6-2)/(3-1) = 4/2 = 2. المعادلة: y-2 = 2(x-1) → y = 2x.
ثانيا: معادلة دائرة
معادلة دائرة مركزها C(a,b) ونصف قطرها R: (x-a)² + (y-b)² = R². الصورة العامة: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 حيث المركز (-D/2, -E/2).
مثال 2: جد مركز ونصف قطر الدائرة: x² + y² – 6x + 4y – 12 = 0.
الحل: بإكمال المربع: (x-3)² + (y+2)² = 25. إذن المركز (3,-2) ونصف القطر 5.
ثالثا: التوازي والتعامد
مستقيمان ميلاهما m₁ و m₂:
– متوازيان إذا كان m₁ = m₂
– متعامدان إذا كان m₁ × m₂ = -1
مثال 3: هل المستقيمان 2x – 3y + 1 = 0 و 4x – 6y + 5 = 0 متوازيان أم متعامدان؟
الحل: m₁ = 2/3, m₂ = 4/6 = 2/3. بما أن m₁ = m₂، المستقيمان متوازيان.
رابعا: المسافة بين نقطة ومستقيم
المسافة بين النقطة P(x₀,y₀) والمستقيم ax+by+c=0: d = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²).
مثال 4: احسب المسافة بين النقطة P(2,-1) والمستقيم 3x-4y+5=0.
الحل: d = |3(2)-4(-1)+5|/√(9+16) = |6+4+5|/5 = 15/5 = 3 وحدات.
خامسا: تقاطع دائرة ومستقيم
لإيجاد نقاط التقاطع، نعوض معادلة المستقيم في معادلة الدائرة ونحل المعادلة من الدرجة الثانية الناتجة. حسب قيمة المميز Δ:
– Δ > 0: نقطتا تقاطع
– Δ = 0: نقطة تماس واحدة
– Δ < 0: لا تقاطع
تمارين متنوعة
- أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطة A(-1,3) والموازي للمستقيم 2x – y + 4 = 0.
- جد معادلة الدائرة التي مركزها (2,-3) وتمر بالنقطة (5,1).
- أثبت أن المثلث رؤوسه A(0,0), B(3,1), C(1,4) قائم الزاوية.
- أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين: 3x+4y-8=0 و 3x+4y+12=0.
- جد معادلة المماس للدائرة x²+y²=25 عند النقطة (3,4).
- أوجد إحداثيات نقطتي تقاطع الدائرة (x-1)²+(y-2)²=25 والمستقيم y = x + 3.
خلاصة
الهندسة التحليلية تربط بين المفاهيم الهندسية والجبرية باستخدام المعادلات. إتقان هذه المفاهيم ضروري للنجاح في امتحان البكالوريا ولمتابعة الدراسات الجامعية العلمية.
