مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تمارين شاملة في الهندسة الفضائية
الهندسة الفضائية تدرس الأشكال الهندسية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة حول المستقيمات والمستويات والعلاقات بينها في الفضاء، مع تطبيقات على المتجهات والإحداثيات الفضائية.
أولا: التمثيل البارامتري لمستقيم في الفضاء
المستقيم المار بالنقطة A(x₀,y₀,z₀) والموجه بالمتجه v(a,b,c) له تمثيل بارامتري:
x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z = z₀ + ct (حيث t ∈ ℝ)
مثال 1: اكتب التمثيل البارامتري للمستقيم المار بالنقطة A(1,-2,3) والموجه بالمتجه v(2,1,-1).
الحل: x = 1 + 2t, y = -2 + t, z = 3 – t
ثانيا: معادلة مستوي في الفضاء
المستوي المار بالنقطة A(x₀,y₀,z₀) والعمودي على المتجه n(a,b,c) (ناظم المستوي):
a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0
أو بالصورة العامة: ax + by + cz + d = 0
مثال 2: جد معادلة المستوي المار بالنقطة A(1,2,3) والعمودي على المتجه n(2,-1,4).
الحل: 2(x-1) + (-1)(y-2) + 4(z-3) = 0 → 2x – y + 4z – 12 = 0
ثالثا: الأوضاع النسبية
مستقيم ومستوي:
– إذا كان متجه توجيه المستقيم عموديا على ناظم المستوي (v·n=0) والنقطة لا تنتمي للمستوي → توازي
– إذا كان v·n=0 والنقطة تنتمي للمستوي → المستقيم واقع في المستوي
– إذا كان v·n ≠ 0 → تقاطع في نقطة
مستويان:
– إذا كانت النواظم مرتبطة (n₁=kn₂) والمستويان مختلفان → توازي
– نفس المعادلة → تطابق
– غير ذلك → تقاطع في مستقيم
رابعا: المسافات في الفضاء
المسافة بين نقطة ومستوي: d(P,P₁) = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
المسافة بين نقطة ومستقيم: d = |AP × v|/|v| (حيث A نقطة على المستقيم و P النقطة المعطاة)
مثال 3: احسب المسافة بين النقطة P(1,1,1) والمستوي 2x-y+2z-6=0.
الحل: d = |2(1)-1+2(1)-6|/√(4+1+4) = |2-1+2-6|/3 = 3/3 = 1
خامسا: الجداء المتجهي والجداء المختلط
الجداء المتجهي: u×v = (u₂v₃-u₃v₂, u₃v₁-u₁v₃, u₁v₂-u₂v₁). الناتج متجه عمودي على كل من u و v.
الجداء المختلط: (u,v,w) = u·(v×w). المقدار يساوي حجم متوازي المستطيلات المشكل من المتجهات.
تمارين شاملة
- أوجد التمثيل البارامتري للمستقيم المار بالنقطتين A(2,-1,3) و B(4,1,-2).
- جد معادلة المستوي المار بالنقاط A(1,0,1), B(2,1,0), C(0,2,1).
- أدرس الوضع النسبي للمستقيم (x=1+t, y=2-t, z=3+2t) والمستوي x+2y-z+1=0.
- احسب المسافة بين النقطة P(3,5,2) والمستقيم المار بالنقطة A(1,2,3) والموجه بالمتجه v(2,-1,1).
- أوجد معادلة المستوي المار بالنقطة A(1,2,3) والموازي للمستوي 2x-3y+z-4=0.
- احسب حجم الهرم الذي قاعدته المثلث A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) ورأسه D(1,1,1).
خلاصة
الهندسة الفضائية تعتمد على فهم المتجهات والعلاقات بينها وبين المستويات والمستقيمات. إتقان هذه المفاهيم يفتح آفاقا واسعة في الرياضيات التطبيقية والفيزياء والهندسة.
