الرياضيات — الإحصاء: مقاييس التشتت والانحراف المعياري — المتوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة في الإحصاء ومقاييس التشتت

بعد أن تعلمنا مقاييس النزعة المركزية (المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال)، ننتقل في هذا الدرس إلى دراسة مقاييس التشتت التي تسمح لنا بقياس مدى انتشار البيانات حول مركزها.

أولاً: مفهوم التشتت الإحصائي

التشتت الإحصائي هو مقياس يصف مقدار التباين أو الانتشار في مجموعة من البيانات. كلما كانت البيانات متقاربة، قل التشتت، وكلما كانت متباعدة، زاد التشتت.

ثانياً: المدى (Range)

المدى هو أبسط مقاييس التشتت، ويحسب بالعلاقة: المدى = أكبر قيمة – أصغر قيمة.

مثال: إذا كانت درجات 5 طلاب هي: 12, 15, 8, 19, 11 فإن المدى = 19 – 8 = 11.

ثالثاً: التباين والانحراف المعياري

التباين (Variance) هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي.

الانحراف المعياري (Standard Deviation) هو الجذر التربيعي للتباين، ويُعتبر من أهم مقاييس التشتت.

خطوات حساب الانحراف المعياري:

1. نحسب المتوسط الحسابي للبيانات.
2. نحسب انحراف كل قيمة عن المتوسط.
3. نربع كل انحراف.
4. نجمع مربعات الانحرافات.
5. نقسم المجموع على عدد القيم (التباين).
6. نأخذ الجذر التربيعي للتباين.

مثال تطبيقي

لدينا درجات 5 طلاب في مادة الرياضيات: 10, 12, 15, 14, 9

• المتوسط الحسابي = (10+12+15+14+9) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12
• الانحرافات: (10-12)=-2, (12-12)=0, (15-12)=3, (14-12)=2, (9-12)=-3
• مربعات الانحرافات: 4, 0, 9, 4, 9
• مجموع مربعات الانحرافات = 26
• التباين = 26 ÷ 5 = 5.2
• الانحراف المعياري = √5.2 ≈ 2.28

تمارين

التمرين 1: أوجد المدى والتباين والانحراف المعياري للبيانات التالية: 5, 8, 12, 7, 10, 6

التمرين 2: قارن بين مجموعة بيانات مداها 20 وأخرى مداها 5 من حيث التشتت.

فوائد مقاييس التشتت

• تساعد في مقارنة مجموعات مختلفة من البيانات.
• تستخدم في تقييم دقة القياسات في التجارب العلمية.
• تدخل في حساب مؤشرات اقتصادية واجتماعية مهمة.

للمزيد من المعلومات، يمكنكم مراجعة درس الإحصاء: المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال وكذلك درس الحساب الحرفي: النشر باستخدام قانون التوزيع.