الأعداد المركبة: تمثيلها الهندسي وتطبيقاتها في الرياضيات — الثالثة ثانوي

الأعداد المركبة: تمثيلها الهندسي وتطبيقاتها

الأعداد المركبة هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية لتشمل حلول المعادلات من الشكل x² = -1. تعتبر الأعداد المركبة أداة أساسية في العديد من فروع الرياضيات والفيزياء والهندسة.

1. تعريف العدد المركب

العدد المركب يكتب على الشكل z = a + bi حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية بحيث i² = -1. يسمى a الجزء الحقيقي (Re(z)) و b الجزء التخيلي (Im(z)).

2. التمثيل الهندسي (مستوى أرجاند)

يمكن تمثيل كل عدد مركب z = a + bi بنقطة M(a; b) في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد. المسافة OM تسمى المقياس (modulus) ويرمز لها بـ |z| حيث |z| = √(a² + b²). الزاوية التي يصنعها المتجه OM مع محور الأفاصيل تسمى العمدة (argument).

3. العمليات على الأعداد المركبة

• الجمع: (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
• الضرب: (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
• المرافق: مرافق z = a+bi هو z̄ = a-bi
• القسمة: تُتم بضرب البسط والمقام في مرافق المقام

4. الشكل المثلثي للعدد المركب

يكتب العدد المركب على الشكل المثلثي: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| و θ = arg(z). هذا الشكل يسهل عمليات الضرب والقسمة ورفع القوى.

5. تطبيقات الأعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة في: حل المعادلات التفاضلية، دراسة التيار الكهربائي المتناوب، ميكانيكا الكم، وتحليل الإشارات. في الكهرباء، تستخدم الأعداد المركبة لتمثيل المعاوقات والممانعات في دوائر التيار المتناوب.

مثال تطبيقي

مثال: أحسب (2+3i) + (4-5i) و (1+2i)(3-4i).
الحل: (2+3i)+(4-5i) = 6-2i. (1+2i)(3-4i) = 3-4i+6i-8i² = 3+2i+8 = 11+2i.

تمارين

1. أحسب (3+2i) – (5-7i)
2. جد مرافق العدد: z = 4-3i
3. أحسب: (2+i)/(1-i)
4. أوجد المقياس والعمدة للعدد: z = 1+i

للمزيد من الشرح، راجع درس النهايات والاستمرارية ودرس راسة الدوال العددية.