الرياضيات — القسمة الأقليدية لكثيرات الحدود — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

القسمة الأقليدية لكثيرات الحدود

القسمة الأقليدية هي عملية حسابية تسمح بتقسيم كثير حدود على آخر من درجة أقل. هذه العملية تشبه القسمة العادية بين الأعداد. في هذا الدرس، سنتعلم كيفية إجراء القسمة الأقليدية لكثيرات الحدود.

مبدأ القسمة الأقليدية

لكل كثيري حدود A(x) و B(x) حيث B(x) ≠ 0، يوجد كثيرا حدود وحيدان Q(x) (خارج القسمة) و R(x) (الباقي) بحيث: A(x) = B(x) × Q(x) + R(x) مع deg R < deg B. A يسمى المقسوم و B يسمى المقسوم عليه.

خطوات القسمة

لإجراء القسمة الأقليدية: نرتب كثيرات الحدود تنازليا حسب الدرجات. نقسم الحد ذا الدرجة الأكبر من المقسوم على الحد ذا الدرجة الأكبر من المقسوم عليه لنحصل على أول حد من خارج القسمة. نضرب المقسوم عليه في هذا الحد ونطرح الناتج من المقسوم. نكرر العملية مع الباقي الجديد حتى تصبح درجة الباقي أقل من درجة المقسوم عليه.

مثال تطبيقي

اقسم A(x) = x3 + 2×2 – 5x – 6 على B(x) = x – 2. الحل: خارج القسمة Q(x) = x2 + 4x + 3 والباقي R(x) = 0. يمكن التحقق: (x – 2)(x2 + 4x + 3) = x3 + 4×2 + 3x – 2×2 – 8x – 6 = x3 + 2×2 – 5x – 6 = A(x).

تمارين

تمرين 1: اقسم A(x) = x3 + 3×2 + 3x + 1 على B(x) = x + 1.

تمرين 2: أوجد خارج القسمة والباقي عند قسمة A(x) = 2×3 – 5×2 + 3x – 7 على B(x) = x – 3.

للمزيد من الدروس، راجع: المعادلات من الدرجة الثانية: طريقة المميز و المتطابقات الشهيرة والنشر والتحليل.