الرياضيات — الأعداد المركبة: جذور الوحدة وتطبيقاتها — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: جذور الوحدة وتطبيقاتها

جذور الوحدة من الدرجة n هي الأعداد المركبة التي تحقق Zⁿ = 1. تكتب على الشكل Zₖ = e^(i2kπ/n) حيث k = 0, 1, 2, …, n-1. عدد جذور الوحدة من الدرجة n هو n جذراً.

خصائص جذور الوحدة

مجموع جميع جذور الوحدة من الدرجة n يساوي 0. جداء جميع جذور الوحدة من الدرجة n يساوي (−1)ⁿ⁺¹. جذور الوحدة تمثل رؤوس مضلع منتظم ذي n ضلعاً في المستوي العقدي.

مثال

جذور الوحدة من الدرجة 3: Z₀ = 1, Z₁ = e^(i2π/3) = −½ + i√3/2, Z₂ = e^(i4π/3) = −½ − i√3/2. مجموعها: 1 + (−½ + i√3/2) + (−½ − i√3/2) = 0.

تمارين

1. أوجد جذور الوحدة من الدرجة 4 واكتبها على شكل مركب.
2. حل المعادلة Z⁶ = 1 في C.
3. بين أن (1 + i√3)⁶ = 64.

للمزيد: الدوال الأسية و الهندسة الفضائية.