الرياضيات — الأعداد الحقيقية: مجموعة ℝ وخصائصها — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الرياضيات — الأعداد الحقيقية: مجموعة ℝ وخصائصها — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

مقدمة

تعد مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ من أهم المجموعات العددية في الرياضيات، وهي تشمل جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على خط الأعداد. في هذا الدرس، سنتعرف على مجموعة ℝ وخصائصها الأساسية.

1. تعريف مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ

مجموعة الأعداد الحقيقية ℝ هي اتحاد مجموعة الأعداد الناطقة ℚ والأعداد غير الناطقة (اللاكسرية). يمكن تمثيل كل عدد حقيقي بنقطة على خط الأعداد، والعكس صحيح.

2. خصائص مجموعة ℝ

أ. المجموعات الجزئية من ℝ:

• ℕ: مجموعة الأعداد الطبيعية {0, 1, 2, 3, …}
• ℤ: مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
• 𝔻: مجموعة الأعداد العشرية
• ℚ: مجموعة الأعداد الناطقة (الكسرية)
• ℝ\ℚ: مجموعة الأعداد غير الناطقة

ب. ترتيب الأعداد في ℝ:

إذا كان a و b عددين حقيقيين، فإن a < b يعني أن a يقع على يسار b على خط الأعداد. من خصائص الترتيب في ℝ:

• الانعكاسية: a = a
• التماثل: إذا كان a = b فإن b = a
• التعدي: إذا كان a < b و b < c فإن a < c

3. مثال تطبيقي

مثال 1: رتب الأعداد التالية تصاعدياً: -3, 0, √2, π, -1.5

الحل: -3 < -1.5 < 0 < √2 < π

مثال 2: حدد أي مجموعة ينتمي إليها كل عدد:

• 5 ينتمي إلى ℕ و ℤ و ℚ و ℝ
• -3 ينتمي إلى ℤ و ℚ و ℝ
• √2 ينتمي إلى ℝ فقط (عدد غير ناطق)
• 0.25 ينتمي إلى ℚ و 𝔻 و ℝ

4. تمارين

تمرين 1: اكتب الأعداد التالية في أبسط صورة: √4, √25, ³√8

تمرين 2: حدد المجموعة التي ينتمي إليها كل عدد: 0.333…, √16, -5, π/2

تمرين 3: قارن بين الأعداد التالية: 3√2 و 2√3

5. روابط مفيدة

للمزيد من المعلومات، يمكنكم الاطلاع على درس الترتيب في ℝ والمقارنة بين الأعداد الحقيقية و تمارين شاملة على الأعداد الحقيقية.